Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вентцель Е.С. -> "Теория вероятностей и ее инженерные приложения" -> 62

Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учебное пособие — М.: Высшая школа, 2000. — 480 c.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка): teriya-veroyatnosti-2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 137 >> Следующая


= P2JPu2» 0,2222;

Pv4\u2 = P2JPu2« 0,7778; P^3« 0,0367; & 0,5138;

Pvb\u3«0,4495; P^4 «0,2222; p^|u4«0,7778; PrJu6=I.

Предлагаем читателю самостоятельно найти все отличные от нуля условные вероятности pUi\vj и сравнить

7 5. ЗАВИСИМЫЕ ii НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 203

с нижеперечисленными:

P^1 = I; /^«0,3913; pU4|U2«0,6087; /^«0^037; PuJv0 «0,6453; ри ]v « 0,2510; «0,3913;

/^4« 0,6087; pU3|Vji = 1. >

Теорема умножения плотностей. Рассмотрим систему двух зависимых непрерывных с. в. (X1 Y) и докажем, что их совместная плотность равна произведению плотности одной из них на условную плотность другой при заданном значении первой:

/(*, j,)-/,(X)U(У U) (7.5.16)

или, что равпосилыю,

/(*, = (7.5.17)

где f2(y 1 условная плотность случайной величины Y при условии, что св. X приняла значение х\ fi(x\y)~-аналогично.

Это правило называется теоремой умножения плотностей; в схеме непрерывных случайных величин она аналогична правилу умножения вероятностей в схеме событий и может быть из него выведена. у

Рассмотрим элемент вероят- У+иу ности f(x, y)dxdy, приближен- У

но (с точностью до бескоиеч- Q

но малых высших порядков) равный вероятности попадания Рис 7.5.6

случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник dRxy со сторонами dx и dy, примыкающий к точке (#, у) (рис 7.5.6). Попадание точки (X, Y) в него представим как произведение двух событий:

A1 = [X^(X1 X +dz)); A2 = (Y ^(у, y + dy)},

откуда, по правилу умножения, элемент вероятности равен:

J(X1 у)dxdy = P(A1)^(A2] A1) =

= Р(Хе X + dx)} P [Y (=(у + ау)\Хе=(х + dx)}.

(7.5.18)

X

X x + dx

204

ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Теперь устремим к нулю dx и dy; в пределе условие Х<=(х, x + dx) в формуле (7.5.18) превратится к X = х; формула (7.5.18) примет вид:

/(*, y)dxdy = fl(x)dx-fi{y I *)dy,

откуда, деля обе части па dxdy^Q, получим формулу (7.5.16) (формула (7.5.17) выводится аналогично).

Из (7.5.16) и (7.5.17) вытекают формулы, выражающие условные плотности распределения:

U(V \ X) = J(X, y)/U{x); U{x\y)-f[xty)/ft(y), (7.5.19)

т. е. чтобы получить условную плотность распределения одной из св., входящих в систему, надо разделить совместную плотность на плотность распределения другой св.

Учитывая формулы (7.4.10), выражающие плотности распределения одной из с. в., входящих в систему, через совместную плотность, можно записать формулы (7.5.19) в виде:

/а(И*)в/(*. у)/j f(^y)dy;

'Г: (7.5.20)

У) j f(^y)dx.

I -оо

Формулы (7.5.19), (7.5.20) выражают условные плотности через совместную плотность /(.г, у).

Условные плотности распределения іг(у\х), І\(х\у) обладают свойствами обычных плотностей:

OO

(7.5.21)

Шу)>0; Jz1(Xl(Z)Ar=I.

— 00

Из формул (7.5.20) для условных плотностей распределения вытекает их полезная геометрическая интерпретация, а именно: кривая условной плотности fi{x\y) подобна сечению поверхности распределения плоскостью, параллельной координатной плоскости /0#, отсекающей на оси Oy отрезок у (рис 7.5.7), и получается из нее

7.5. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 205

делением всех ординат на площадь данного сечения. (На рис. 7.5.7 величина а, — коэффициент пропорциональности.)

Пример 4. Время безотказной работы Tx электронного устройства (ЭУ) распределено по показательному закону с параметром к>

> 0; вреі\ія восстановления ЭУ после его отказа T2 также подчинено показательному закону, но его параметр р, пропорционален времени безотказной работы ЭУ: \jL = atx (а>0).

Найти совместную п. р. системы св. (Ti9 T1), а также п.р. св. Г, и T2 и их характеристики. Решение. По условию

/і('і)-*в~х'1 (<і>0);

-Хв-*'«а*1в-в'1'« (*1>0;

*8>0).

По формуле (7.4.10) находим

OO OO

Рис. 7.5.7

(x + «д»

(*2>0).

Можно убедиться в том, что п. р. с. в. T2 обладает все-

OO

ми необходимыми свойствами:

О

Следовательно,

/а (*а I *i) = /Єї. Wi Ci) = ^1*"*1'1 («і. '2 > 0), /і(*іІ*а)-/('і. «і)//а(«.)-

- (X + a*8J" «^+0'«)'! (*lf *2 >0).

Отметим, что условная п. р. с в. Г, при фиксированном значении T2 = t% является законом Эрланга 2-го порядка с параметром (К + at2).

2оа

ГЛ 7 СИСТЕМА СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Найдем числовые характеристики с. в. Ti и Т2\

OO

M [T1] - J Xf1«-«! Л = i-; D If1] - 1Д2;

м. о. и дисперсия с. в. T2 не существуют, так как соответствующие интегралы расходятся. >

На практике нам далеко не всегда бывает известна совместная плотность распределения f(x, у) системы двух св.; может возникнуть необходимость непосред-ственнного определения условной плотности по результатам опытов. Сразу же оговоримся, что для этого экспериментальный материал должен быть достаточно обширным (порядка уже не сотен, а тысяч опытов). Покажем на конкретном примере, как это можно выполнить.

Пусть случайная величина X — рост наугад взятого человека, У —его вес. Ясно, что случайные величины X и Y зависимы; в среднем более высокие люди имеют и больший вес, хотя в конкретных случаях от этого правила могут быть и отступления. Предположим, что мы хотим приближенно найти по опытным данным условную плотность распределения /2(і/І180), т. е. плотность распределения веса человека, имеющего рост 180 (см). Как это сделать?
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed