Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Понятие независимых с. в. очень важно в практических применениях теории вероятностей. Вводя в рассмотрение систему с. в., надо стараться по возможности обеспечить их независимость.
Если с. в. X и У, образующие систему, независимы, то ф. р. системы выражается через ф, р. отдельных величин, входящих в систему. В самом деле,
F(z,y) = P{X<x; Y<y}.
Но события {Х<х) и {Y < у) независимы; по правилу умножения вероятностей для независимых событий
F(*,y) = P{X<x)-P{Y<y}
F(X, V) = F1(X) F2(y)*), (7.5.1)
т. е. ф. р. системы двух п е з а в и с и м ы х св. р а в-на произведению ф. р. величии, входящих в систему.
Это правило справедливо для любых случайных величии — дискретных, непрерывных и смешанных.
Если X и У — две независимые дискретные е.. в. с матрицей распределеиия HpJI (/==1, 2, п; / = 1,
196
гл. 7. системы случайных величин
2, ..., т), то элементы этой матрицы очень просто выражаются через законы (ряды) распределения отдельных с. в. X и У. А именно,
Py = P[X = Xu У = У)\
но события {X = X1) и {Y = Hj) независимы; отсюда Ру-Р(Х-*}-Р,(Г-^},
или, пользуясь обозначениями Px^ = P {X = #*}; р =
т. е. каждый элемент p{j матрицы распределения двух независимых св. равен произведению соответствующих им (і-го и /-го) элементов рядов распределения св. X и У.
Условие (7.5.2) есть необходимое и достаточное условие независимости двух дискретных случайных величин X и У. Если оно выполняется, с. в. X и У независимы, если не выполняется — зависимы.
Вернемся к примеру 1 п. 7.3 и посмотрим, зависимы или независимы приведенные там случайные величины (X1 У).
Рассматривая матрицу распределения системы дискретных с. в. (X1 Y) в примере 1 п. 7.3 и ряды распределения (7.3.7), убеждаемся, что
P12 - РХіРУп - 0,09-0,48 - 0,0432
^a3 - V^8- 0^0'16 - 0,0784,
т. е. условие (7.5.2) выполнено, а с в. X1 Y независимы.
Составить заключение о независимости можно было бы и не строя матрицы распределения системы и рядов распределения отдельных величин, входящих в систему: ведь стрелки стреляют независимо друг от друга, и число попаданий первого никак не влияет на число попаданий второго; т. е. множества причин, обусловливающих значения, принятые в опыте случайной величиной X и случайной величиной Y1 не пересекаются.
Теперь обратимся к примеру 2 п. 7.3. Рассматривая матрицу распределения (7.3.9) системы случайных ве-
7.5. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 197
личин (U1 V)— сумма и разность чисел попадания 1-го и 2-го стрелков, убеждаемся в том, что вероятности Pa в матрице (7.3.9) не равны произведениям вероятностей
р и стоящих в рядах (7.3.10), и поэтому случай-
ные величины U и V зависимы.
Так проверяется зависимость и независимость дискретных с. в.
Рассмотрим теперь более важный для инженерной практики случай двух непрерывных св. (X, У). Пусть эти величины независимы. Дважды дифференцируя формулу (7.5.1) (спачала по X1 потом по Ij)1 получим совместную плотность f(x, у):
У) =8
d2F (*, у)
или
дх ду
4F1 (*)
dx
dPt (у) du
(7.5.3)
т. е. совместная плотность двух независимых непрерывных св. равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.
Выполнение равенства (7.5.3)—необходимое и достаточное условие независимости двух непрерывных с. в. X и У.
Пример 1. Система двух непрерывных св. (X, Y) распределена с постоянной плотностью J(X1 у)=- с в пределах прямоугольника R1 ограниченного абсциссами f(x,y)
(а, ?) и ординатами (1Y, б) (рис. 7.4.6). Найти константу с. Определить, зависимы или независимы с в. X и У. Найти ф.р. F(X1 у) системы о
(X, Y).
Решение. Поверхность распределения системы _.
(X, Y) вне прямоугольника х R совпадает с плоскостью Рпс. 7.5.1
хЪу (/(*» !/) = 0), а для его
внутренних точек параллельна плоскости хОу и отстоит от нее па с (рис. 7.5.1). Объем, ограниченный этой поверхностью и плоскостью хОу, должен быть равен единице:
(? —Ot) (в —71-е —I1
Л—У-
/я
198 гл 7 СИСТЕМЫ СЛУЧ\м1ых ВЕЛИЧИИ
H*, У) =
l/(?_o)(o-Y) при (і,»)єй,| ,_г
О
при (X1 у) ?«.) (7-5-4)
Примепяя формулы (7.4.10) для отдельных величин, входящих в систему, получим:
OO б
/, (*) - f / U, ff) 4/ = j [1/(р - а) (б - Y)J 4/ =
l/(? — а) при X es (a. P)1
1 О при X ф. (а, P)
п, апалогнчно,
(1/(S-Y) при 0Є=(т;б), '«W)-J О при у<?{у,Ь).
(7.5.5)
(7.5.6)
Из (7.5.4), (7.5.5) и (7.5.C) видно, что /(х, і/)=» «/t (x)li(y) и случайные величины X, У независимы.
Теперь найдем функцию распределения системы F(x, у). Так как XuY независимы, то, согласно формуле (7.5.1),
F(x9 V)-F1(X)F1U). Найдем Fx(I) и F2(y).
В п. Cl мы нашли ф. р. (см. (6.1.9)) для равномерного распределения па участке. Получим:
F1(X) = Аналогично
0 при X ^ ос,
(х — a)/(? — а) при а < х < ?,
1 при r>?.
0 при #<y,
— 7)/(6 — y) при У<У<&,
1 при у^8.
(7.5.7)
(7.5.8)
Перемножая (7.5.7) и (7.5.8) при (z, у)& R и учитывая, что F[x, +ои)'жFt(x), F[+0O1 y) — Fi(y), получим
