Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
вия взаимодействия). Если такое поле неоднородно, то число точек, попадающих в плоскую (пространственную) фигуру, вычисляется по формулам
144
ГЛ. б. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Решение. Св. X —- число вызовов за 2 минуты — распределено по закону Пуассона с параметром а = — X • т — 0,8 • 2 — 1,6. Имеем:
а0
а) P0 — щ *~1,в; так как 0! = 1,
P,-*-».'» 0,202,
б) P1= і «Г1'6 ж 1,6-0,202 « 0,323,
в) Л, = P (X > 1} = 1 - P {X = 0}=1 -P0 ж 0,798. > Пример 2. Поток грузовых железнодорожных составов, прибывающих на сортировочную горку, можно считать простейшим с интенсивностью X, —4 (состав/ч). Найти вероятности того, что за полчаса на горку прибудет: а) ровно один состав; б) хотя бы один состав; в) не менее трех составов.
Решение, т — 0,5; а = 4 • 0,5 -»2.
а) P1 = 2 • er2 « 2 - 0,135 = 0,270.
б) A1 «1 -P0 »0,865.
в) A3^l-(P0-HP1 + р2)=1-Д(2, а)-Л(2, а) = «Л(2,2)«0,325. >
П р и м е р 3. Ha оси абсцисс Ox (рис. 5.2.5) случайным образом расположены наблюдательные посты; их плотность (среднее число постов на единицу длипы) К (пост/км). Объект, пересекающий ось абсцисс в точке с заданной абсциссой |, обнаруживается с наблюдательного поста, если он проходит от него на расстоянии не
0 ? а?
Рис. 5.2.5
более г км, причем обнаруживается не с полной достоверностью, а с вероятностью р. Посты обнаруживают объект независимо один от другого. Найти вероятность того, что объект будет обнаружен.
Решение. Перейдем от последовательности постов на оси к последовательности «обнаруживающих постов», линейная плотность которой Ґ =Хр. Вероятность того, что объект будет обнаружен, равна вероятности того, что на участок длиной 2г с центром в точке ? попадет хотя бы один «обнаруживающий пост». Св. X —число «обнаруживающих постов» на участке длиной 2г — распределена по закону Пуассона с параметром a = ZrX' ZrXp9
5.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА 145
Вероятность A1-I-P0 появления хотя бы одного «обнаруживающего поста» на участке 2г равна Rt = 1 — - <r2rXp. >
Пример 4. Космические частицы, попадающие в спутник, образуют поле с плотностью X (частица/м2). Агрегат спутника, находящийся в поле частиц, занимает площадь S (м2). Для выхода из строя агрегата заведомо достаточно попадания в него двух частиц; при попадании одной частицы он выходит из строя с вероятностью р. Найти вероятность события А = {выход агрегата из строя}.
Решение. Находим среднее число попадающих в агрегат частиц:
a = XS.
Найдем вероятность выхода агрегата из строя по формуле полной вероятности с гипотезами:
Hi = (в агрегат попала одна частица),
/Z2 = (в агрегат попало не менее двух частиц}.
По закону Пуассона P(H1)^XSe'"8; P(H2)^R2 = I-P0-P1 = R(I1 US)-
= l-e-*s(l + ?tS); . P(AW1)-р; P(AW2)^U
по формуле полной вероятности
P(A) - XSpe~K8+ 1 - є"*8 {I + XS). >
Пример 5. Поток вызовов на АТС — пуассоновский нестационарный с интенсивностью X(I)1 зависящей от времени. На участке времени от 0 ч до 6 ч 40 мин интенсивность X(t) возрастает по линейному закону:
X(t) = bt + C1
причем к 0 ч она равна 0,2 (вызовам в минуту); а в 6 ч 40 мин —0,4 (вызов/минуту). Найти вероятность P того, что за 10 минут, от 3 ч 15 мин до 3 ч 25 мин, придет не менее трех вызовов.
Решение. Найдем постоянные Ь и с: X(0) = 0,2; с = «=0,2 [вызов/мин]; X (6 ч 40 мин) = X (400 мин) =6 400+. + 0,2 = 0,4 [вызов/мин], откуда Ъ = 0,2/400 [вызов/мин2] =» ¦== 1/2000 [вызов/мин2]. Среднее число вызовов а в интер-
146 ГЛ. 5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Ряд распределения с. в. X имеет вид: х |0| 1 I 2 I 3 |„.| « I
\р\чр\ґр\їр\...\Гр\
вале от 3 ч 15 мин = 195 мин до 3 ч 25 мин — 205 мин
205 205
будет a = j (bt + c)dt = I (&4 + et) - (2052 ~
195 195
- 195*) + 0,2 (205 - 195) - 42025^038025 + 2 - 3. Искомая вероятность P будет
P - R ([2], 3) - R (2, 3) - 0,57681« 0,577. *
5,3. Геометрическое распределение
Говорят, что случайная величина X имеет геометри* ческое распределение, если ее возможные значения 0, 1, 2, ..., m, ..., а вероятности этих значений:
Pm= qmp, (5.3.1)
где 0<р<1; g = 1 — p; m = 0, 1, 2, ...
Вероятности Рт для последовательных значепий m образуют геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (отсюда и название «геометрическое распределение»):
P0-P(X = O} = /*; P1-P(X-I)-JP,...
...,Pm = P{X = m} = (5.3.2)
На практике геометрическое распределение появляется в следующих условиях. Пусть производится ряд независимых опытов, с целью получения какого-то результата («успеха») А; при каждой попытке (опыте) «успех» достигается с вероятностью р. Случайная величипа X — число «безуспешных» попыток (до первой попытки, в которой появляется результат А). Нетрудно убедиться, что св. X имеет геометрическое распределепие (5.3.2). Действительно,
P (X — 0} = P (первая же попытка успешна) « р, P {X — 1) =* P {первая попытка безуспешна,
вторая успешпа) =* q • р,
P {X — m) — P {первые m попыток безуспешные,
(m + 1) -я успешна) — gm • р.
б.З. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 147
