Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вентцель Е.С. -> "Теория вероятностей и ее инженерные приложения" -> 44

Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учебное пособие — М.: Высшая школа, 2000. — 480 c.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка): teriya-veroyatnosti-2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 137 >> Следующая


P {Х-т)-К (!)"*(! -J)~

Посмотрим, каков будет предел этого выражения при

П оо;

\п—т

(5.2.6)

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела в формуле (5.2.6):

-т + \) ат_ (1_п)_

Первая дробь и знаменатель последней дроби при постоянном т и п ->¦ оо стремятся к единице. Преобразуем

138

ГЛ. 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

числитель последней дроби к виду

В пределе при п оо это выражение, как мы знаем из курса математики, стремится к Следовательно,

предельное значение в формуле (5.2.6) равно

а это и есть распределение Пуассопа.

Из доказанного предельпого свойства следует, что распределение Пуассона с параметром а = пр можно приближенно применять вместо биномиального, когда число опытов п очень велико, а вероятность р очень мала, т. е. в каждом отдельном опыте событие А появляется крайпе редко. Отсюда происходит применяющееся еще иногда для закона Пуассона название «закон редких явлепий».

В свое время «классическим» примером случайной величины X1 распределенной по закону Пуассона, приводившимся во многих учебниках, было «число солдат-кавалеристов, убитых за год ударом копыта лошади». Число опытов п здесь — число встреч солдат-кавалеристов с лошадью, ар — вероятность того, что встреча закончится столь плачевно. Статистические данпые показали хорошее совпадение распределения с. в. X с пуас-ооновским. В настоящее время этот пример, по понятным причинам, потерял свою актуальность. Однако и в наше время есть задачи, где распределением Пуассона можно пользоваться вместо биномиального. Например, если речь идет о мпогократном применении технического устройства высокой надежности, такой, что вероятность отказа при одном применении очень мала.

Для контроля возможности замены биномиального распределения пуассоновским можно па всякий случай подсчитать одну-две ординаты точного, биномиального, распределения и сравнить с теми, которые получаются по приближенному, пуассоновскому.

Помимо этого «предельпого» случая возникновения пуассоновского распределения, па практике встречается ряд ситуаций, где это распределение имеет место.

Рассмотрим, например, такую задачу. Пусть па оси времени Ot случайным образом возникают точки — мо-

P (иг, а),

(5.2.7)

5.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

139

менты появления каких-то однородных событий (например, вызовов на телефонной станции, приходов посетителей в магазин, поступлений информации в АСУ и т. п.). Последовательность таких моментов обычно называют «потоком событий». Предположим, что поток обладает следующими свойствами.

1. Стационарность. Это свойство означает, что вероятность попадания того или иного числа событий па участок времени длины т не зависит от того, где на оси 0? расположен этот участок, а зависит только от его длины т. Из этого следует, что среднее число событий, появляющихся в единицу времени, постоянно. Обозначим его X и будем называть интенсивностью потока.

2. Ординарность. Грубо говоря, это свойство означает, что события возпикают поодиночке, а не группами по два, по три и т. д. Точнее, ординарность потока выражается в том, что вероятность попадания на малый участок At двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него одного события (при At-+ 0 вероятность попадания на участок At более чем одного события — бесконечно малая более высокого порядка малости, чем вероятность попадания на него же ровно одного события).

3. Отсутствие последействия. Это свойство означает, что вероятность попадания того или другого числа событий на заданный участок оси Ot не зависит от того, сколько событий попало на любой другой не пересекающийся с ним участок (в частности, «будущее» потока не зависит от его прошлого; отсюда и термин «отсутствие последействия»). Эта независимость физически сводится к тому, что события появляются на оси времени в силу случайных причин, индивидуальных для каждого из них.

Поток событий, обладающий этими тремя свойствами — стационарностью, ординарностью и отсутствием последействия, называется простейшим (или стационарпым пуассоновским) потоком.

Простейший поток тесно связан с распределением Пуассона. Действительно, возьмем на оси Ot участок времени длиной т (рис. 5.2.2) и докажем, что случайная величина X —число событий, попадающих на этот участок, имеет распределение Пуассона. Разделим мысленно участок т на и равных частей длины At = х/п. Математическое ожидание числа событий, попадающих на эло-

140

ГЛ. 5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ментарный участок At, очевидно, равно XAt, где X — интенсивность потока. Согласно свойству 2 (ординарности) потока можно пренебречь вероятностью попадания на элементарный участок Af двух и более событий.

Назовем элементарный участок At «занятым», если на нем появилось событие из потока, и «свободным» —

Г

At ,-а->

—j—a—«—.——

Гис. 5.2.2

если не появилось, и введем индикатор U события «участок At занят» (см. п. 3.3):

{1, если участок At занят, O1 если участок At свободен.

Математическое ожидание индикатора события «участок At занят» равно вероятности этого события:
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed