Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
Обычно предполагается, что емкость зависит от населения в соответствующем районе:
Cc(t) = Cc0 + KcNc(t), Cn(t)=Ch0 + KhNn(t).
Здесь параметры кс и кп означают количество единиц емкости на душу населения в городе и, соответственно, в пригороде.
Ранее уже отмечалось, что распределение емкостей по городскому пространству осуществляется в соответствии со следующим правилом:
Cj(t) = f(j,t)-Cc(t), (9.44)
где f(j, t) — распределение или Гаусса, или Парето [29].
Довольно распространенной пространственной структурой города является такая, в которой существует «центральный район» с наибольшей емкостью. Вокруг этого центрального района организуются иные районы или земельные участки с уменьшающейся емкостью, которые заканчиваются земельными участками низшей емкости Cj = Cthr на окраине города. Допускается, что
370
Эволюция городов и давление населения
fUJ) =
(9.48)
Случай А с фиксированной емкостью центрального района
Этот случай описывает город, для которого центральный район j = (О, O) сохраняет постоянную емкость СС8 (пространство, полностью заполненное зданиями), в то время как окраины могут свободно расширяться. По определению, участки земли на окраине города могут достигать пороговой емкости Ctftr. Соотношения
371
Глава 9
это уменьшение емкости зависит от расстояния d(j,j0) между данной площадкой j и центральным районом jo и имеет форму распределения Гаусса:
/U,t) = /Uo.t)exp{-^!^}. (9.45)
Здесь центральный район имеет координаты jQ = (0, 0) и d(j,j0) является манхэттенским расстоянием (9.24) и a2(t) является дисперсией распределения Гаусса. Если емкость земельных участков j = Ъ на окраине города с расстоянием d(b,jo) = аь намного меньше, чем в центральном районе, т. е. если
№ t) = /(jo, t) ехр J- j « /(jo, *), (9.46)
условие нормировки приводит к следующему соотношению:
oo
EZ)/(*» *)и
г'Єс ї
+00 +00
У У ЄХР\--- jdtldt2=Z
—оо —оо
= 2/(jo,i) V(*)=l. (9.47)
Подставляя (9.47) в выражение (9.45), получим:
Региональная наука Часть И.4
между С es и Cthr общей емкости города Cc(t) следуют из их определения и из уравнений (9.44) и (9.48):
Ccs = C(J = J0) = ^щСс(і), (9.49)
C,^C(i = bW)^exp{-||}ccW. (9.50) Решая (9.49) и (9.50) относительно <r2(t) и db(t), получаем:
А*) = (9.51)
Ccs
(9.52)
Это означает, что показатель a(t) ширины распределения Гаусса и расстояние db(t) от окраины до центрального района возрастают пропорционально квадратному корню общей емкости Cc(t). Подставляя (9.51) в (9.48) и (9.44), получим, что емкость Cj(t) на участке j приобретает вид
Cj(t) = Ccs ехр j-|^d2u, j0) j. (9.53)
Случай В с фиксированной границей
Этот случай описывает город, отделенный от пригорода фиксированной границей. Тогда единственной возможностью, позволяющей увеличить общую емкость Cc(t), является увеличение емкостей всех городских регионов, включая центральные.
Имея постоянное расстояние db от центрального района до границы города и постоянную предельную емкость Сщг, можно вычислить емкости С es (t) центрального района:
Ccs(t) = C(J = J0) = Ce(t) (9.54)
372
Эволюция городов и давление населения
Глава 9
и
C(j = Ъ) = Cthr =
2a2(t)
ехр
{-Ah{t) (9-55)
или
In (a2(t)) + -
dl
In
'CS)]
(9.56)
аЦі)
Уравнения (9.55, 9.56) имеют два решения для дисперсии a2(t), из которых одно <j2(t) < d\. Подставляя результат в уравнение (9.54), получаем емкость Ccs(t) центрального района.
В отличие от случая А ширина a(t) распределения Гаусса (9.48) уменьшается при увеличении Cc(t). При этом емкость Ccs(t) центрального района увеличивается достаточно быстро с увеличением Cc(t).
9.3.4. Уравнения квазисредних
После выбора функций полезностей (9.36), (9.38), (9.39), (9.40), (9.41) и формул (9.44) функций емкостей (9.43), (9.48), можно записать систему уравнений для квазисредних. Она состоит из трех подсистем:
a) уравнений для городской конфигурации,
b) уравнений для конфигурации населения и
c) уравнений для емкостей города и пригорода.
а) Уравнения для городской конфигурации
Переменными являются квазисредние Xj,y3- количества жилья и предприятий на площадке j(j\,J2)'.
-± = ад|т(х, у; С) - wxn(% у; С) =
= /і ¦ ехр {AJ+(X, у; С)} - р] ехр {Ду_(х, у; С)} (9.57)
373
Региональная наука Часть IL 4
W^1(X, у; С)С) =
= exp {Af+(X, у; С)} - Mf exp {Af_(x, у: С)}. (9.58) Разности полезностей имеют вид Д?+(*, У; С) - «(&,-+, у; С) - и(х, у; С) =
Pj x~T~l 9j jj
Cj -f- 1 — жу — ї/j
+ E e*ft+E(e"+«•«)*' (9-59>
Д*.(4, у; С) = «(«,•_, у; С) - u(S, у; С) =
Xi J X XX
V) In
Cj ~\- 2 жу JJj
Cj + 1 - E7- - ^7-
и аналогично:
Д?+(*> У; С) - уу+; С) - и(х, у; С) =
Pi In
+ $ In
+1 - ж;- - у j ^ (9.61)
Д? (х, у; С) = «(*, С) - и(х, у; С) =
Cj -Ь 2 — Xj — i)j Cj -\- 1 ж ^ ?/j
(9.62)
374
Эволюция городов и давление населения
Ь) Уравнения для конфигурации населения
Переменными являются квазисредние Nc, Nf1 количества населения города и пригорода:
dN
wch(N) - wAc(f>f) + wc](ft) - wci(ft) = Pch($) • Nh - Phc(N) ¦ Nc + Tc • & (9.63)
dt
dNfi
= whc(ft) - Weft (ft) + wftr(ft) - whl(N) =
