Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вайдлих В. -> "Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках" -> 89

Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.

Вайдлих В. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках. Под редакцией Попкова Ю.С. — M.: Едиториал УРСС, 2005. — 480 c.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка): socdinam2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 120 >> Следующая

Начнем анализ со стационарных уравнений квазисредних (8.49-8.52). Этот набор имеет симметричное решение:
= xf = xf> =xf = x = 7-^-r-. (8.68)
1 2 1 2 (2a + c)p v
Линейный анализ устойчивости стационарного решения основан, так же как и ранее, на исследовании линейных уравнений для отклонения ?.-^(т) от стационарного решения х\^:
346
Динамика потребления традиционных и модных товаров
Глава 8
(а)
у. = [ _ (r + q) + 2каа]^а) - (q + + - ^f1
(8.69)
Г (8.70)
^ = - + [ - (г + «) + 2*"]^ - (g + 2^)*f,
(8.71)
где
2 »
(8.72)
После введения суммы и разности переменных
в(«)=€|-)-€<"); «<« = ?<» - ?<»
(8.74)
получаем из (8.69-8.72) две системы линейных дифференциальных уравнений:
d<r(a) ^ ч (а)
-~ = ~(2q + r)(r{a\ йТ (8.75)
—- = -(2« + г)<х^ ат
347
Экономика Часть IL 3
~dr~
do® dr
= 2K?a6^ + (4K??-r)6(?\
(8.76)
Уравнения (8.75) имеют устойчивые решения. Рассмотрим уравнения (8.76) и представим их решения в виде:
6(а)(т) = of ехр {Xt}; 6<Р\т) = of ехр {Xt}, где собственные значения определяются из уравнения [4каа - г - A] 2Ka?
2K?a
Из (8.78) будем иметь
[4к
?? _
А]
(8.77) (8.78)
Л± = [2(каа + K??) - г] ± 2^(каа - кРР)2 + ка?кРа. (8.79)
Пусть параметры внутреннего согласования каа = кР& = к (см. уравнения (8.54)). Тогда собственные значения принимают форму
А± = [4к -г]± 2у/ка?кРа. (8.80)
Очевидно, что ответ на вопрос, являются ли собственные значения Л± вещественными или комплексно-сопряженными, зависит от того, имеют ли Ka? и K?a одинаковые или противоположные знаки.
В первом случае (одинаковых знаков Ka? и кРа) либо обе группы и имеют тенденцию к имитации другой группы (если ка@ и K?a положительные), или обе группы и V^?) имеют тенденцию к снобизму по отношению к другой группе (если каР и K?a — отрицательные).
Во втором случае (различных знаков Ka? и K?a) одна из групп (например, , если K?a — положительный) является группой-
348
Динамика потребления традиционных и модных товаров
349
Глава 8
имитатором, из-за ее тенденции покупать такой же товар, как и другая группа. При этом другая группа (например, V^1 если Ka? отрицательный) является группой-снобом, вследствие ее желания покупать товары, отличные от тех, которые покупает другая группа. Это означает, для второго случая, где собственные значения являются комплексно-сопряженными, что одна из групп является снобом, а другая имитатором.
Случай 1: Вещественные собственные значения Х±
Случай 1а). Оба собственных значения X+ и Л_ являются отрицательными.
При этом в соответствии с (8.80) выполняются следующие неравенства:
(4/с + 2лДа^а) < г, (4/c-2vV<Va) <г. (8.81)
Условие (8.81) удовлетворяется, если параметр внутреннего согласования /с и межгрупповые параметры взаимодействия /са/3, кРа малы. Тогда симметричное состояние (8.68) остается устойчивым, и траектории сходятся в этому стационарному состоянию.
Случай 16). Собственное значение A+ является положительным, а А_ — отрицательным.
При этом выполняются следующие неравенства:
(4л + 2л/ка?кРа) > г, (4к-2у/каРкРа) < г. (8.82)
Условие (8.82) может быть удовлетворено только в случае, если множество параметров межгруппового взаимодействия доминирует над параметром внутреннего согласования. Когда одно собственное значение является положительным, симметричное состояние (8.68) становится неустойчивым седлом.
Глобальная эволюция фазового портрета зависит от того, являются ли обе группы и имитаторами или снобами.
Экономика
Часть П.З
В случае групп-имитаторов (tia? > 0 и кРа > 0) траектории достигают устойчивых стационарных состояний в первом и третьем квадрантах у^/у^ -пространства. Эти стационарные состояния описывают ситуации, в которых обе группы и предпочитают один и тот же модный товар (а именно, товар 1 в первом квадранте, или товар 2 в третьем квадранте). Рис. 8.5 иллюстрирует этот случай для малого параметра внутреннего согласования /с = 0,04 и четырех больших параметров межгрупповой имитации Kaf3 = кРа =0,2.
Рис. 8.5. Фазовый портрет для к = 0,04 и na? = n?a = 0,2 (ft = 10; р= 1; a = 1; с= I)
Рис. 8.6. Фазовый портрет для к = 0,04 и na? = n?a = -0,2 (6= 10; р= 1; а = 1; с = 1)
В случае групп-снобов (ка@ < 0 и к&а < 0) траектории достигают устойчивых стационарных состояний во втором и четвертом квадрантах 2/^/3/^3^-пространства. Эти стационарные состояния описывают ситуации, в которых группы и предпочитают различные модные товары (а именно, — товар 2 я — товар 1 во втором квадранте, или наоборот, — товар 1 и — товар 2 в четвертом квадранте). Рис. 8.6 иллюстрирует этот случай для малого параметра внутреннего согласования к = 0,04 и для больших параметров межгрупповой имитации ка^ = к^а = -0,2.
350
Динамика потребления традиционных и модных товаров
Глава 8

Г'<,
Ib)
A+ > О, Л_ > о
16) A+ > О > Л
Ia) \ A+ < О. А.. < О
/(4к + 2л/каак7°)
Рис. 8.7. Области параметров 4к и 2у/каРкРа
Случай 1в). Собственные значения X+ и X- — положительные.
При этом выполняются следующие неравенства:
(4« + 2у/~каР кР а) > г,
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 120 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed