Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вайдлих В. -> "Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках" -> 87

Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.

Вайдлих В. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках. Под редакцией Попкова Ю.С. — M.: Едиториал УРСС, 2005. — 480 c.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка): socdinam2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 120 >> Следующая

IW/-vMI=0- (8-32)
Устойчивость стационарного состояния х будет иметь место, если собственные значения А имеют отрицательную вещественную часть.
Рассмотрим невзаимодействующие группы потребителей T^K т-е. такие, для которых относительные функции полезности (х) зависят только от конфигурации х^ их собственной группы и не зависят от конфигураций х^\х^р\... других групп *ріу\ -р(р\....
336
Динамика потребления традиционных и модных товаров
Тогда существует общая функция полезности р P
U(X) = J2 ui?) (xi?)) = E nWu^ (х^) > (8-33)
для которой
U{?)(X{l]) - U(fl)(X) = Cr**0 (XJ?) - сТ^(Х). (8.34) Кроме того, коэффициенты (8.30) принимают форму
_ w /aV«(x«)\ (8.35)
1 J
Линейные уравнения (8.29) распадаются на P независимых наборов уравнений:
dt - j?**'*' ()' (8.36)
і = 1, 2,... , L\ fi = 1, 2,... , P.
В качестве конкретного случая допустим, что и^(х) состоит только из Uq^ (х^) . Общая функция полезности С7(Х) приобретает форму:
U(X) = J2N^u{f(x^)
/1=1
P
Стационарные решения уравнений квазисредних следуют из форм(8.27) с и^\х) =>• Uq1* (х^). Здесь существует только одно
337
Етава 8
Экономика
Часть IL 3
решение:
Pj
»
L+1 *'=1
Более того, может быть просто показано, что матрица
dx^dxf
/ L+] і \\ 2 4 J=I 7
b(?):
Pi
Vi
Pj
(8.38)
(8.39)
отрицательно определена. Следовательно, все собственные значения уравнений (8.36) вещественные и отрицательные. Это означает, что стационарное решение (8.38) — устойчиво. Одновременно
следует, что U0^ (х^) достигает максимума в точке х^ = х^\
Стационарное решение основного уравнения
Примечательно, что существование общей функции полезности, для которой имеет место условие (8.34), является условием существования стационарного решения основного уравнения (8.23). Стационарное решение РЯ*(Х) не зависит от времени, и, таким образом, должно удовлетворять равенству:
= E И#>(Х)Рві(Х) + E W$\x)Ptt(X). (8.40)
338
Динамика потребления традиционных и модных товаров
Глава 8
Условие (8.40) выполняется автоматически, если выполняются условия детального баланса:
<>(X,W)P5((X«) = ^W(X)P81(X),
<)(Х,їУ4х!:>) = W\f(X)P„(X).
Теперь можно увидеть, что в случае существования общей полезности U(X) (8.34), интенсивности перехода (8.20) принимают форму:
wlf(x) = u^nM ехр {u(i№) - U(X)},
Т V +/ (8.42)
WlP(X) = V^)nM ехр {!7(X^) - CT(X)}.
В этом случае форма
Ps*(X) = C-exp{2!7(X)} (8.43)
удовлетворяет детальному балансу (8.41) и, таким образом, является стационарным решением основного уравнения (8.40).
Подставляя выражения 2Cf(X) (8.37), получим, что стационарное распределение вероятности (8.43) факторизуется:
р
Pst(X) = C Л {1^). (8.44)
/1=1
В этом случае распределение вероятности для группы можно получить в явном виде:
р..Г»(х(,)) = j _ ^v1Xf ¦ П NT } • (8-45)
^ L j=i -I i=i ^
Максимум этого унимодального распределения вероятности совпадает с устойчивым стационарным решением уравнений квазисредних. Размытость области вокруг максимума вероятности описывает естественные флуктуации вокруг стационарного состояния вследствие стохастического характера спроса.
339
Экономика Часть II. 3
8.3. Динамика спроса в случае двух групп потребителей
Рассмотрим общую модель для случая с двумя группами потребителей и , проявляющих внутригрупповое и межгрупповое взаимодействие, относительно их покупательского поведения. Оно приводит к существенным особенностям в динамике спроса, по сравнению с группами, не имеющими такого вида взаимодействия.
Для простоты, представим, что только два товара і = 1,2 имеют качество модного товара, в то время как все другие товары включены в универсальный товар.
Дальнейшие упрощения производятся для того, чтобы эффекты внутригруппового и межгруппового взаимодействия могли бы рассматриваться в чистом виде. Здесь имеется в виду, что группы имеют одинаковый размер и одинаковую скорость ответной реакции. Доступный бюджет членов обеих групп также должен быть одинаковым. Независимо от характеристик моды два товара і = 1, 2 должны быть полностью заменяемыми, т. е. должны иметь равную цену за единицу и одинаковую «естественную» функцию полезности в обеих группах.
Эти соображения приводят к следующему выбору модельных коэффициентов:
N(a) = N(?) = Nf
= = ь,
v\ 2vt = г,
Pl =Р2=Р,
(8.46)
а
340
Динамика потребления традиционных и модных товаров
Соответственно, функции полезности (8.19) теперь принимают форму:
u^(xf, xf; xf, xf) = а In (xf-xf) +сіп [b-p(xf +*<">)] + + k«a(xf - xf)2 + ka?(xf - xf) ¦ (x[?) - xf) (8.47)
и
и^(х?\х^;х?\х^) =aln [xf'-xf] +cln [(,-p^+xf)] +
+ «""(xf - xf>)2 + «<""(xf> - xf>) • (*<¦> - x<o)). (8.48) Из (8.47, 8.48) прямо следуют уравнения типа (8.27) для стацио-нарных квазисредних х\ ' и xf (для простоты мы далее будем
- -(a) -(?) Ца) д(/3)ч
использовать обозначение а?} ' и xf вместо х\ и xf'y.
СР • 2Kaa(ef -xf) + ^(xf -xf) = Q;
(8.49)
2Kaa(xf-xf)-ka?(xf-xf)=0;
(8.50)
2*?? (xf - xf) + к/** (*Sa) - 4a)) = 0;
(8.51)
2кРР {xf - xf) - кРа (xf - xf) = 0.
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 120 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed