Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
wf+ = Щ; (7.28)
Q
w3.
Щ. (7.29)
В формулах (7.28) и (7.29) предполагается, что интенсивности переходов связаны с ранее введенными переменными. Таким образом, предполагается, что технологический прогресс, ведущий к повышению качества, возможен посредством повышения научно-исследовательских и опытно-конструкторских расходов, и что эти усилия пропорциональны спросу. Параметр оперативности т) описывает степень реакции фирм на повышенный спрос.
С другой стороны, форма (7.29) моделирует реакцию фирмы в случае отсутствия спроса или адаптации качества, если существует какой-либо спрос. Этот адаптационный процесс предположительно пропорционален достигнутому уровню качества. Параметр регулирования качества j является мерой скорости этого адаптационного процесса.
В формулах для Wj±,wf±,w®± приняты одинаковые значения a,?,fj,j. Это означает, что рассматриваются «стратегически эквивалентные» фирмы.
302
Конкуренция между High-Tech фирмами
Глава 7
7.2.2. Уравнения динамики
Интенсивности перехода iuf0, tug, Wj±, иі?±, w^±, установленные в разделе 7.2.1, описывают частоту элементарных переходов между данной экономической конфигурацией E = {n, S, Р, Q} и соседними конфигурациями
Ef0 = {nj0, S, Р, Q}; Eg = {%•, S, Р, Q}; Ef± = {n, Si±, Р, Q}; Ej± = {n, S, Р,-±, Q}; E^ = {n,S,P,Qi±}.
Введем следующие обозначения:
= {(no - 1),...,(? + 1),..., nL};
Щ = { (n0 + 1),...,(7? - 1),... ,nL}\
Sj± = (5,,...,(5^1),..
Р;± = {РЬ...,(Р,-±1),.. • ,Pl}\
Qj± = {Q1,...,(Qi±l),. •¦,Ql}.
(7.30)
В соответствии с общей процедурой, изложенной в главе 3, получим основное уравнение и уравнения квазисредних.
Основное уравнение
Основное уравнение является уравнением эволюции вероятности P(E; t) реализации экономической конфигурации E в момент времени t. Оно имеет вид:
= E ^f0(Eg)P(Eg; І) - ™?о(Е)Р(Е; t) +
l l
+ J2 <¦ (Ef))P(Ef0; 0 - E <(Е)р(Е' *) +
i=i i=i
303
Экономика
Часть И.З
L )P(EJL;f) - J]X(E)P(E; і)+ j'=i
L j=i - (E)P(E;*) + j=i
L j=i IP(Bf-; 0 -Х>&(е)р(е;*) + J=I
j=i ) P (Ef+;*) L - ?>jL (E)P(EU) 4-j=i
)P(E?_;f) -X;<(E)P(E;0 + j'=i
+Х>?-(*?+ -5»!.(1S)P(E;*). (7.31)
J=I J=I
Правая часть этого уравнения состоит из восьми строк. Все они относятся к изменениям с течением времени вероятности P(E; і) конфигурации Е, под влиянием потоков вероятности из соседних конфигураций (позитивные значения), и потоков в соседние конфигурации (негативные значения). Две первые строки порождаются движениями потребителя от состояния несобственника к состоянию собственника единицы Cj предмета потребления, и наоборот, отказом от этих товаров. Третья и четвертая строки связаны с приспособлением (регулированием) поставок (снабжению); пятая и шестая строки возникают вследствие шагов по приспособлению (урегулированию) цены, седьмая и восьмая строки вызываются процессами повышения и понижением качества.
304
Конкуренция между High-Tech фирмами
Глава 7
Уравнения квазисредних
Уравнения квазисредних для Hj, Sj, P3, Qj описывают эволюцию во времени средних траекторий для пучка стохастических траекторий. Они имеют вид:
drij (t)
dt
Wj0 - W0j = v ехр {kQj - o~Pj}n0 - prij-, (7.32)
j=i j=і j=i
= wf+(Xj) - w^(Xj) = ?Xj = ?(Pj - Cj(Sj))Sj- (7.34) = v)J+(Zj) - wJ_(Zj) = aZj = a(Dj - Sj)Pj; (7.35)
w;
w^=TjDj-IQj. (7-36)
dSj(t)
dt dPj(t)
dt dQ3(t) dt
Уравнение (7.33) следует из закона сохранения (7.2) и может быть исключено.
Переход к относительным переменным
Теперь удобно ввести в уравнения квазисредних безразмерные переменные:
ж, = —-; і = 1,2, X0 = (7.37)
Тогда закон сохранения (7.2) можно представить в виде:
L
J=I
Кроме того, введем спрос dj и предложение Sj на одного человека во временном интервале v~]:
Dj = PN Sj] Sj = vNsj. (7.39)
305
Экономика
Часть И.З
Тогда формула спроса (7.10) может быть преобразована следующим образом:
dj = exp {Uj}x0 = exp {kQj — aPj}x0. (7-40)
Введем также безразмерное время
T = vt (7.41)
так, что интервал 1 по шкале г соответствует интервалу v~l по шкале t, и введем безразмерные частоты в виде:
р=^-; в=-; 7 = 5; a = aN; Ti = TjN. (7.42)
VVV
Тогда уравнения квазисредних примут вид: dxj
— =dj- pxj = exp {nQj - aPjjxo - pXj
ат (7.43)
для j = 1, 2,... , L;
L L
dT ~ °
j=i j=i
-?=?sj(Pj-C(PNSj)); (7.45)
dP
= a(dj - Sj)Pj; (7.46)
d%
dT
Vdj-jQj. (7.47)
Основное уравнение (7.31) и (4L -f 1) уравнений квазисредних (7.32)-(7.36) либо (7.43)-(7.47) составляют математическую форму предлагаемой общей модели.
306
Конкуренция между High-Tech фирмами
307
Глава 7
7.3. Случай двух конкурирующих фирм
7.3.1. «Принцип подчинения» и переход к уравнениям для параметров порядка
Уравнения квазисредних для двух фирм j = 1,2 (7.32), (7.34) и (7.36) имеют вид:
dA(K)
-±- = ^f(A} -«#°{A}; і = 1,2, (7.48)
где:
4" = „,; Af = Sj- Af=Pj; Af = Qi. (7.49)
Эти восемь уравнений все еще достаточно сложны. Но они могут быть значительно упрощены, если применить «принцип подчинения» (часть 1, глава 3).
Этот принцип применим, если в динамической системе существуют различимые временные шкалы для переменных, иными словами, если могут быть явно выделены медленные и быстрые переменные В этом случае быстрые переменные быстро релаксируют к состоянию равновесия. Медленные переменные как бы не меняются за короткое время релаксации быстрых переменных. Поэтому равновесные значения быстрых переменных могут быть выражены через медленные переменные. Говорят, что они «подчинены» (или захвачены) медленными переменными.
