Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
Затраты на переход из состояния (ih) (5.46)
193
Социология
Часть II. 2
Продолжение таблицы 5.2
Функции тренда Название и значение Определяющие уравнения
J* Затраты на вступлении в состояние (jk) (5.46)
jkh dji Обшая социологическая дистанция между состояниями (ih) и (jк) (5.49)
v(ih) Полезность состояния (ih) (5.50), (5.52)
Таблица 5.3
Коэффициенты тренда
Коэффициенты тренда Название и значение Определяющие уравнения
Щ Общая скорость перехода (5.21), (5.22)
Индивидуальная агитационная деятельность (5.24)
аг Экспонента обязательств (5.39)
Oi Обязательства (5.39)
г? Коэффициент вознаграждения для статуса h (5.40), (5.41)
Гі Коэффициент вознаграждения (5.41)
9о Фактор независимости вознаграждения (5.40)
9і Фактор зависимости вознаграждения (5.40)
194
Динамика взаимодействующих социальных групп
Глава 5
Продолжение таблицы 5.3
Коэффициенты тренда Название и значение Определяющие уравнения
Wij Коэффициент обратной связи (5.44)
«Oi Постояння составляющая роста скорости солидарности (5.33)
Ot\i Коэффициент линейной составляющей JV- роста скорости солидарности (5.33)
Постоянная составляющая скорости насыщения солидарности (5.34)
Переменная составляющая скорости насыщения солидарности (5.34)
5.2.4. Уравнения квазисредних
Сейчас мы имеем в принципе все необходимое для формирования основного уравнения и уравнений квазисредних. Из-за сложной структуры модели, а также потому, что основная информация будет поступать из моделирования сценариев, мы рассмотрим только уравнения квазисредних. Они состоят из эволюционных уравнений для (t) и 5;(?).
Уравнения для экстенсивных персональных переменных Nih(t) получаются из общего уравнения (3.61) в виде:
d~ = E v0k> %ї I C)JVf - ]Г v(ih; С?/ I jk; C)JVj=
i,h i,h
для j = !,...,<?; fc = 0, ...,Hj (5.54)
195
Социология
Часть II.2
dN°0(t)
]Р ^о? I ih; C)Nf - ]Р v(ih; Cf00 I 00; C)iV0°,
t,h г,ft
(5.55)
где С = {Nq ; S; N}. Суммирование правых частей уравнений (5.54) и (5.55) производится по всем (ih), где h = 0, 1,... , Яг и г = \,2,...,0.
Математический смысл уравнения (5.54) достаточно простой: первое слагаемое правой части уравнения описывает среднее число индивидов, прибывающих за единицу времени в состояние (jk) из состояний (ih); каждый из них с индивидуальной интенсивностью перехода v(jk; C^f | ih; С). Второе слагаемое правой части уравнения описывает среднее число индивидов, покидающих состояние (jk) за единицу времени и производящих переход в состояния (ih), включая и (0, 0); каждый из них с индивидуальной интенсивностью перехода v (іК\Щ I jk;C). Данная интерпретация сохраняется и для эволюционного уравнения (5.55).
Из (5.54) и (5.55) следует:
G Я,
а
dt х ,
= J2 "О"*; I *Л; c)N*~12 Yl »(ih> с?/1 jk; c)N3k = о.
jk ih jk ih
(5.56)
Поэтому общее количество N индивидов остается неизменным с течением времени. Заметим, что в правой части уравнения (5.56) i,j = 1,...,G; h = 0,\,...,Hi;k = 0,l,... ,H3.
Для построения уравнений, описывающих динамику переменных солидарности S(t), воспользуемся тем, что их относительная скорость представляется разностью скоростей роста а\
196
Динамика взаимодействующих социальных групп
Глава 5
и насыщения а{. Получим:
(5.57)
или, подставляя (5.33) и (5.34):
\ = щЩй{ - h(U) + (Ti(Ni)]Sf
для г = 1,2, ...,G,
(5.58)
где
(Йі) = («оі + аїЛ); (Ni) = ы +(TnNi).
(5.59)
Эволюционные уравнения для $,•(?) оказываются обобщенными логистическими уравнениями с коэффициентами, зависящими от Ni.
Уравнения (5.54), (5.55) и (5.58) описывают модель динамики групп. Благодаря закону сохранения (5.56), уравнение (5.55) является избыточным и может быть опущено. Оставшийся набор состоит из G уравнений для переменных солидарности Si (t) и (Hi + 1) уравнений квазисредних JVf с h = О, ...,Щ, где г — \, 2,... ,G. Отсюда получаем:
Замечания по поводу стационарных решений
Перед обсуждением в следующем разделе динамических решений уравнений выскажем несколько замечаний об их стационарных решениях Ni , Si.
Стационарные уравнения солидарности могут быть непосредственно решены:
G
Hi + 2G = число независимых
эволюционных уравнений.
(5.60)
Si =
MNi)
(5.61)
197
Социология
Часть II.2
Зависимости стационарной солидарности 5, от JV1- для различных значений коэффициентов тренда (a0i, а.ц, <70l-, с^) изображены на рис. 5.3:
рис. 5.3 а: а<к = 0,01; «1,- = 0,01; оої = 0,0; Cr1j = I3I-IO-4, рис. 5.36: aoi =0,01; аи =0,01; cr0l- = 0,1; ан = 1,1- 10~4, рис. 5.3 в: aoi = 0,01; alt- = 0,01; бгоі = 0,1; вг1ж- = 0.
Если набор уравнений
N? = С ехр {2i>(ife; N)}, (5.62)
где г = 1,...,G3 /г = 0, ...,#,, или (г'/г) = (0,0), и где С определено из условия нормировки
G Н,
к* +E E^1 = (5-63)
имеет одно или несколько решений, тогда эти решения являются одновременно и решением для стационарных уравнений (5.54). Это можно увидеть, если учесть форму (5.53) интенсивности перехода в (5.62) и (5.54). Так как
{ехр {v(jk, N) - v(ih, N)}JVf - ехр {v{ih, N) - v(jk, N)}JV*} =
= cjexp {v(jk,N) ±v(ih,N)} -exp {v(ih, N) + v(jk, N)} j = 0,
