Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вайдлих В. -> "Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках" -> 18

Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.

Вайдлих В. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках. Под редакцией Попкова Ю.С. — M.: Едиториал УРСС, 2005. — 480 c.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка): socdinam2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 120 >> Следующая

Начнем с решения q0o уравнения (1.2) при ?(t) = О и постоянных управляющих параметрах а о. В этом случае решение q0o является постоянным вектором и возникает из условия N(q0o; Qo) = 0. Допустим, что это решение устойчивое. Если значение внешнего управляющего параметра сдвинуть с а0 —> а, то новые значения переменных состояния можно представить в виде:
где q0 — стационарное решение уравнения (1.2) N(q0o; «o) — w(?) — небольшой сдвиг от стационарного решения q0.
Для того чтобы проанализировать вопрос, остается ли q0 стабильным решением уравнения (1.2), или здесь развивается другая динамика после перехода а0 а, подставим выражение (1.4) в уравнение (1.2), где F(<) = 0, и разложим правую часть уравнения в ряд Тейлора относительно w(?). Получим
q(*) = Qo+w(*),
(1.4)
— = L(q0, a)w + M(q0, a; w),
(1.5)
или в координатной форме
n
Lij(4o, ol )wj + Mi (q0, a; w); * = 1,2, ...5n. (1.6)
Здесь первое слагаемое
61
Структуры и модельные концепции
Часть I
содержит линейные члены ряда Тейлора, а второе — включает члены высших порядков. Квадратичные и кубические члены ряда имеют вид:
M,-(q0, а; w) = ^ M^bwawb + M^}abcwawbwc + ... . (1.8)
а,Ь а,Ь,с
Полагая, что отклонения w(?) малы, можно пренебречь высшими членами в (1.5, 1.6) и проанализировать линеаризованное уравнение
dvt ,
— = L(q0,a)w. (1.9)
at
Его решения могут быть выражены через собственные решения ^k\t) в следующем виде
w(0 = X>w(*}№, (1-Ю)
к
где собственные решения имеют вид
w(fc)(0 = exp{^*,*}v(*). (1.11)
Собственные значения , собственные векторы (правые собственные векторы), появившиеся в этом уравнении, и левые собственные векторы V^+ (собственные векторы транспонированной матрицы L') должны удовлетворять следующим уравнениям:
L(q0, а)у{к) = \{к\(к) (1.12)
или в координатной форме:
? Vf = А<*>„<*> (1.13)
и
v(0+L(q(), a) = X(l?l)+ (1.14)
62
Междисциплинарный подход к структуре реальности
Глава 1
или в координатной форме:
A<<>if. (1.15)
1=1
Здесь V®* — комплексно сопряженное число к V®. Представим скалярное произведение векторов Uj и Vj в следующем виде:
п
(u|v) = 5>3- V3= u+-v. (1.16)
Правые и левые собственные векторы и образуют биортогональную систему:
(v(0 I v<fc)) = olk, (1.17)
где tf/fe — символ Кронекера.
Доказательство: Рассмотрим скалярное произведение:
(VOlLvW) = E*.'"*^ =
U
= \Ю(Ф\уЮ)=\®(^\^). (1.18)
Известно, что собственные числа матрицы и транспонированной к ней матрицы равны. Поэтому в случае I Ф к правая цепочка равенств справедлива, если (v^ | ) = 0.
Устойчивость решения (1.4) теперь зависит от собственных чисел Хк, которые в общем случае — комплексные A* = Х'к + iX"k. Будем различать случаи
Л'(в) = Re (Л<'>) <0 (1.19)
и
Л'(и) = Re (А(и)) > 0. (1.20)
Если собственные числа As имеют отрицательную вещественную часть, то соответствующие компоненты y/('\t) = ехр {X^SH}\^
63
Структуры и модельные концепции
Часть I
решения (1.10) будут затухать. Поэтому, если начальные отклонения от стационарного решения малы, то и для t > 0 линеаризованная система будет описывать реальное движение системы.
Если же, наоборот, собственные числа А" имеют положительную вещественную часть, то соответствующие собственные решения w"(i) = exp {Xnt}yn экспоненциально возрастают по времени, т. е. стационарное решение оказывается неустойчивым. Условия линеаризации уравнения (1.2) нарушаются, и линеаризованные уравнения (1.9) уже не описывают реальное движение системы.
Полагая, что разделение на устойчивые и неустойчивые моды сохраняется, решение системы (1.5) будем искать в виде:
w(t) = X)&W^"> + Z)€.(*)*<"- (»•2I)
U
В этом выражении амплитуды ?и(0 Для неустойчивых мод и ?s(t) для устойчивых мод неизвестны. Для определения амплитуд ?ы(0 и ?s(t) воспользуемся точными уравнениями движения (1.5, 1.6). Уравнения (1.5, 1.6) могут быть преобразованы в уравнения для ?и(0 и ?s(0 если их скалярно умножить слева на собственные векторы и :
у I w(0) = (v<"> I Lw(O) + (v(u) ! M[W(O]),
(1.22)
l(v<"> I w(0) = (v(s) I Lw(O) + (v(s) I M[w(0]).
Подставляя в эти уравнения выражение (1.21) и используя условие биортогональности (1.17), получим:
A(u)&(*) + Mu«u,b), (1.23)
dt
* \к'}Ш + М,(?и,Ь). (1-24)
dt
Выражения Mu и M8 возникают из (v(u) | M[w(0]) и (y(s) \ M[w(0]) соответственно, если в (1.8) подставить разложение (1.21)
64
Междисциплинарный подход к структуре реальности
65
Глава 1
решения w(?) по устойчивым и неустойчивым модам. Ограничиваясь членами второй и третьей степеней, получим:
т,т' r,r',r" , ,
(2) V"^ (3) U'^~7
г,г' г,г',г"
где суммирование производится по всем устойчивым и неустойчивым модам. Структурно эти уравнения похожи на исходные уравнения движения, но в них отделены устойчивые и неустойчивые моды, которые имеют существенно различное динамическое поведение.
В большинстве важных случаев (включая лазер и много других физико-химических систем) для данного управляющего параметра а существует только одно или очень немного собственных чисел А" с небольшой положительной вещественной частью, тогда как остальные собственные числа имеют большие отрицательные вещественные части. Благодаря структуре уравнений (1.23, 1.24)
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 120 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed