Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вайдлих В. -> "Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках" -> 114

Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.

Вайдлих В. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках. Под редакцией Попкова Ю.С. — M.: Едиториал УРСС, 2005. — 480 c.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка): socdinam2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 .. 120 >> Следующая

Теперь рассмотрим, как связаны между собой большой ансамбль S ^> 1 систем, каждая из которых движется по своей стохастической траектории, и вероятность распределения P(j; t).
Начнем со стационарного случая. Тогда в каждом состоянии і находится S(і) систем в единицу времени, так что
X)S(I) = S. (12.2)
Представим
S(i) = S-Q(i), с X)Q(I) = I, (12.3)
где величина Q(I) является относительной частотой нахождения систем в состоянии і. Теперь покажем, что
Q(I) = MIh (12.4)
где Pst(i) является стационарной вероятностью, удовлетворяющей стационарному основному уравнению (10.41).
Доказательство следует из простого рассуждения: каждая из S систем движется по стохастической траектории, переходя из одного состояния в другое. Стационарное среднее число S(і) систем в состоянии і складывается из среднего числа систем, попада-
460
Стохастические траектории и уравнения квазисредних
ющих в единицу времени в ячейку і из соседних состояний j, умноженного на среднее время пребывания fj в состоянии і. Среднее число систем, попадающих в состояние і, равно
? «;(! I J)S(I). (12.5)
j
Вычислим среднее время пребывания fj. Для этой цели введем вероятность Рі(т) того, что система, прибывшая в состояние і во время t = 0, пробудет в нем до времени т. Очевидно, pi (т) является монотонно убывающей функцией С Pi(O) = 1.
Представим Pi(т) в виде:
Рі(т + 6т)=рі(т)-6рі(т), (12.6)
где
6рі(т) = рі(т) - 6tw(\) с Ці) = 53 і і). (12.7)
Из (12.6) и (12.7) следует
dpi(r)
Mi)-Pi(t). (12.8)
ат
Решение этого уравнения имеет вид:
Pi(r) = ехр {~w(\)t}, (12.9)
где начальное условие Pi(0) = 1.
Среднее время пребывания тх легко вычисляется:
СЮ OU OO
Ti = J T-Sp1(T) = - Jr-^dT = -[TPi(T)W + J Pi(T) dT = ^
OO о
Из (12.5) и (12.10) получим
(о'
(12.10)
5O = І •EMiIj)S(J) (12.11)
или, подставляя (12.3) и (12.7), будем иметь:
461
Глава 12
Математические методы
Часть III
w(\\ J)Qd) = ту (12.12) j j
Так как уравнение (12.12) совпадает со стационарным основным уравнением (10.41) и Q(\) нормировано (12.3), утверждение (12.4) является прямым следствием.
Нестационарное уравнение для
S(\;t) = S-Q(\;t) (12.13)
следует из формулы:
количество систем, покидающих состояние і в единицу времени
X ЧІ M)S(M). (12.14)
Оно имеет вид:
= 5>(і і I)SQ;') - E «010*0;«). (12-15)
что эквивалентно нестационарному основному уравнению (10.22) для Р(і; і).
12.2. Квазисредние
Введем величины, с помощью которых можно характеризовать среднее поведение стохастических траекторий в конфигурационном пространстве состояний n = {п\, п2,..., п^}.
С первого взгляда можно подумать, что средние значения n = {ni(t), n2(t),..., nz(t)} вероятностного распределения P(n; t) являются подходящими величинами.
Для унимодального распределения вероятности это справедливо, так как средние п(і*) чаще всего соответствуют состоянию nmax(?), где вероятность максимальна. С другой стороны, количество систем, в данный момент времени находящихся в состоянии п, пропорционально P(n; t). Поэтому n(t) w nmax(?) характеризует состояние, где находится большинство систем во время t.
462
Стохастические траектории и уравнения квазисредних
Однако для мультимодального распределения вероятности ситуация иная. Теперь здесь существует несколько состояний
Dl,щах(0> П2,тах(0> • • ГДЄ ^(П' О ИМСЄТ ОТНОСИТЄЛЬНЬІЄ МаКСИМуМЫ,
и где большинство стохастических траекторий остаются во время t. Среднее значение n(t) находится где-то между состояниями
Пі,тах(*), п2,тах(0> • • ' МаКСИМЭЛЬНОЙ ВерОЯТНОСТИ И ПОЭТОМУ НЄ ПОДходит для характеристики средней эволюции системы.
Для нахождения более подходящих величин it(t) = {fti(t),..., ni(t)} вместо n(t) рассмотрим кластер С систем в состоянии п конфигурационного пространства во время t. В интервале 6t часть 6twji(n) от количества С систем совершит переход п —>
nji = • • • , (пг - 1), • • • , (TIj + 1), . . . , Tl1}.
Давайте теперь рассмотрим компоненту Ti7-: часть ot Y2 wji(n)
і
из С систем изменила эту компоненту благодаря переходу из tij к (tlj + 1) за время 6t, часть 6t wij (п) систем изменила ее
і
благодаря переходу из Ti7- к (tij — 1) за время 6t, и часть 1 — 6t(Ylwji(n) + E ^jWJ систем сохранила свою компо-
і і J
ненту Tij. Среднее значение fij координаты tij в рассматриваемом кластере изменилось:
(fij + dfij) = (uj + l)6t E wji(U) + (7? ~ 1M* E w*j W +
+ n.
1 - 6t(^T WJi(Ti) + E ViA*)) (12Л6)
или
dt
Переменные n = {щ,... , nL} будем называть квазисредними. Точными уравнениями для них являются уравнения (12.17). Только в случае унимодального распределения вероятности они совпадают с приближенными уравнениями средних (11.39).
463
Глава 12
Математические методы
Часть III
Очевидно, уравнение квазисредних (12.17) намного более подходяще для описания эволюционного поведения индивидуальных систем в точке й, чем точное уравнение средних (11.16). Основание для этого вывода следующее: в уравнения квазисредних (12.17) входят интенсивности перехода, зависящие только от локальных переменных i\(t), в то время как в уравнения средних (11.16) входят средние интенсивности перехода.
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 .. 120 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed