Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
Соотношение между этими двумя подходами есть предмет эргодической теории, которая в некоторых случаях позволяет сформулировать определенные условия, когда оба подхода становятся эквивалентными. Однако, если сравнивать возможности применения их к естественным и социальным наукам, то они оказываются принципиально различными.
В то время как в естественных науках, например в ядерной физике, всегда возможно измерить эволюцию ансамбля из миллионов одинаково устроенных, но случайным образом развивающихся систем, социальные науки, такие как экономика, политология или социология, располагают только одной или в лучшем случае несколькими сравнимыми системами в качестве объектов исследования. Поэтому понятно, что в естественной науке подход ансамблей нашел широкое применение, в то время как в социальной науке обычно исследуются свойства только одной системы.
457
Математические методы Часть III
В главах 10 и 11 были рассмотрены некоторые основные математические концепции подхода ансамблей. Дополнительно в этой главе мы сосредоточим внимание на свойствах стохастических траекторий и их связи с концепцией теории ансамблей.
12.1. Стохастические траектории и их связь с вероятностными распределениями
Рассмотрим системы, которые могут с некоторыми вероятностями проходить состояния, принадлежащие дискретному множеству состояний. Состояния, как и в главах 10 и 11, определяются либо через i,j, k,..., либо применительно к конфигурационному пространству через n = {п\,п2,..., Ul}, п' = {п[, п'2,..., n'L},
Однако начнем с краткого экскурса в теорию детерминированных систем. Классическим примером могут служить механические системы. Состояния механической системы описываются посредством 2/ канонических сопряженных переменных {q(t),p(t)} = {q\(t),... ,qf(t); pi(t),... ,Pf(t)}, которые являются элементами 2/-мерного фазового пространства Г. Движение механической системы в этом пространстве описывается уравнениями Гамильтона:
dgh(t) = aff(q;p) dpk(t) = ЗЯ(д;р)
dt дрк 'dt dqh ' К ' }
где H(q; р) является функцией Гамильтона. Если система стартует из начального состояния {q\(0),... , 5/(0); Pi(O),..., Pf(O)} Є Г, она проходит с течением времени однозначно определенный континуальный набор состояний (орбит в фазовом пространстве), определенных уравнениями Гамильтона (12.1). Это означает, что точка, изображающая систему, перемещается из каждого состояния только в одном направлении и с соответствующей скоростью.
Стохастическая система ведет себя совершенно иным образом. Рассмотрим ее поведение на малом промежутке времени 6t,
458
Стохастические траектории и уравнения квазисредних
459
Глава 12
полагая, что во время t ¦= О она находится в состоянии i. Ее дальнейшая эволюция не является однозначно определенной. Для заданных интенсивностей перехода w(j | і) из состояния і в соседние состояния j существует вероятность 6tw(i І і) того, что система может попасть в состояние j за временной интервал Ot. С другой
стороны, существует вероятность (1-Х)^w(I I что онаможет
j
остаться в состоянии і в течение временного интервала 6t.
Если очень большое количество, скажем 5(і), одинаково
устроенных систем находится в состоянии і во время t = О,
то их часть 6tw(j | I)S(і) может перейти в состояние j и часть
(1 - 6tw(j І і))S(і) может остаться в состоянии і в течении j
времени 6t.
Теперь проследим последовательность СОСТОЯНИЙ J1, J2, J3, ..., которые проходит система. Так как процесс перехода из одного состояния в другое вероятностный, последовательность СОСТОЯНИЙ J1J2Js, в противоположность детерминированному случаю, однозначно не определена. Тем не менее некоторые последовательности могут быть предпочтительнее других, т. е. они случаются намного чаще.
Теперь мы сделаем предположение, что каждое состояние і связано с каждым другим состоянием j по крайней мере одной цепочкой промежуточных состояний I1, i2,... , іп_ь In = j с конечными интенсивностями перехода w(U | і), Ці2 | ii),..., w(j | І„_і) из і к j и по крайней мере одной цепочкой промежуточных состояний J1, J2, ..., jj„_i, Jjn = і с конечными интенсивностями перехода
І І),М(І2 ІІі). ••• >™0 ІІго-l) ИЗ j K І.
Это внешне слабое предположение имеет далеко идущее последствие: стартуя из произвольного начального состояния і, стохастическая траектория может «рано или поздно» достигнуть любого из возможных состояний j с конечной вероятностью.
Это так же означает, что вероятность не попасть в данное состояние j за временной интервал At сводиться к нулю
Математические методы Часть III
при А* оо. Если это справедливо для возвращения из любого состояния j в начальное состояние і, то существует конечная вероятность того, что стохастическая траектория, покинувшая начальное состояние і во время t = 0, «рано или поздно» вернется в начальное состояние.
Эти утверждения для стохастических траекторий интуитивно простые, но влекут за собой сложные математические конструкции, если излагаются в терминах точных теорем. В частности, здесь можно проследить некоторые аналогии с детерминированными траекториями Гамильтона (см. выше), для которых французский математик Пуанкаре (Poincare) доказал известную теорему о возвращении.
