Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вайдлих В. -> "Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках" -> 111

Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.

Вайдлих В. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках. Под редакцией Попкова Ю.С. — M.: Едиториал УРСС, 2005. — 480 c.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка): socdinam2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 120 >> Следующая

0(wji(n;t)) =0(N). (11.34)
447
Математические методы
Часть III
Это же сохраняется для скоростей рождаемости/смертности (10.31) и (10.32). Имеем
dF(n) _ dF dxk _ dF ! dnk dxk dnk dxk (1135)
¦ • (??)=• (?)¦<*»-> -<™--'> '
Отсюда следует, что порядки величин производных Wji(n;t) выглядят следующим образом:
0(wji]p) = 0(1);
0(W^) = O(N-1);
, (11.36)
0(wmqV) = 0(N~2);
°(wji\p\q\r\s) = 0(N~3) и так далее.
Теперь рассмотрим порядок величин дисперсий vpq(t) и высших моментов:
Vpqr (t) = (Пр - Пр(І)) (nq - 7lq(t)) (nr - ПТ (t)) ,
_ (11.37)
Vpqrs(t) = (np - Up(t)) (nq - nq(t)) (nr - Пг (t)) (пв ~ Us(t)) ,
которые были опущены в разложении Тейлора (11.26). Их порядки величин очевидно зависят от формы вероятности распределения P(n;t).
Если это распределение является унимодальным и P(n; t) имеет малую «ширину» а <С N, то диагональные элементы vpp; vppqq соответствующих матриц моментов удовлетворяют следующим условиям:
Vvv ^ о-2 «С N2 для всех р,
4 4 (П-38)
Vppqq ^ (T <$С N для всех р и q.
448
Уравнения средних и дисперсий Глава 11
и
dvkijt) dt
Вследствие (11.36) и (11.38) приближенные уравнения средних и дисперсий могут быть далее упрощены:
= E К-(й«; О - ^W*); 0) + j'=i
+ wk+(n(tyj) -wk-(n(t);t) (11.39)
E toft* (n(0; *K(*) + E 4M (fiW' OM*) +
+ ^iWfM(n(0;0-^(n(0;*)
+ ІЕ <P5D(fiW; 0?» + E <?B0H*); OM*) + p p
+ WBD(n(0;0}- (11-40)
От формы интенсивностей перехода, рассматриваемых как функции от п, зависит, останется ли начальная функция унимодального распределения унимодальной для любого времени, или трансформируется в мультимодальное распределение.
Если скорости перехода явно не зависят от времени, тогда средние значения и дисперсии достигают единственных стационарных значений пк и vkl соответственно.
Грубая оценка величины стационарных дисперсий может быть дана в миграционном случае (где вторая скобка {} в (11.40) исчезает), если пренебречь недиагональными элементами vkp, к Ф р. Тогда стационарная дисперсия vkk может быть получена из следу-
ющего уравнения:
-st
кк А ^..NM/-st\-st , ЯМу-зіл
dvl*
dt
0 = 2«,gf Ю- (11-41)
449
Математические методы Часть III
Отсюда
wjM(nst)
vkk = - 0 NM/st\- (11.42)
Так как wf^fn5*) и uffc являются положительно определенными, равенство (11.42) справедливо, если
«ftV)<0. (11.43)
Заметим, что (11.43) является условием устойчивости стационарного состояния j\st. Из (11.42) следует, что порядок величин стационарных дисперсий vf^ должен быть
0(ViI) = O(N), (11.44)
что согласуется с условиями применимости уравнений (11.39) и (11.40).
Если, наоборот, начальная унимодальная функция распределения эволюционирует в мультимодальную функцию, уравнения (11.39) и (11.40) становятся неприменимыми. Траектории, которые генерируются ими сильно отличаются от точных траекторий. Это можно пояснить следующим образом.
1. Для мультимодального распределения среднее значение n(t)
лежит между различными максимальными значениями (t),
n^(t),... функции распределения. Расстояние а(пм, й) между максимумом Пде(?) и средним значением й(?) порядка 0(N)1 т. е.
0(d(nM,n)) = О
У*І?(пім-пі)2) =0(N), (11.45)
что предполагает, что по крайней мере некоторые из моментов VpP,vppqq имеют порядки 0(NZ) и 0(N4), соответственно:
0(vpp) = 0(N2), 0(vppqq) = 0(N4) для по крайней мере одного р и q.
450
Уравнения средних и дисперсий Глава 11
Эти порядки для случая мультимодальных распределений отличаются от найденных в (11.38) для унимодальных функций распределения с малой «шириной» а. Члены высших степеней в разложении Тейлора (11.26) теперь не могут быть опущены. 2. Мы рассматриваем приближенные уравнения средних (11.39) в случае чистой миграции, принимая интенсивности перехода (см. (10.116)) в виде
wji (n) = рji (п) • щ = їїji exp { Uj (uji) - щ (п) }-щ ^ i ^
С fl ji — \i>%j.
Стационарная форма этих уравнений имеет вид:
l
0 = E АЬ'ї{ехР {Ч?(п) ~ иі(й)}йі - exp {Mn) - «j(n)}nj},
(11.48)
где мы положили ujj ~ п, что справедливо для больших значений щ, Uj. Легко заметить, что его решение имеет вид:
щ = сехр {2щ(п)}, (11.49)
где с — есть константа нормировки.
Заметим, что уравнение (11.49) совпадает с уравнением (10.140) для определения экстремума {п} стационарного распределения вероятности в случаях, где выполняется детальный баланс.
Если уравнение (11.49) имеет только одно решение (что имеет место в случае детального баланса), п может быть интерпретировано как приближенное среднее значение nst распределения Pst(n).
11.4. Пример точных уравнений средних и дисперсий
Уравнения средних и дисперсий (11.39) и (11.40) имеют весьма сложную структуру, даже если выполнены все условия для их
451
Математические методы
Часть III
применимости. В большинстве случаев они могут быть решены только численно. Поэтому представляет интерес исследования таких уравнений, для которые удается построить аналитическое решение.
Рассмотрим процесс чистой миграции населения, состоящего только из двух видов і = 1, 2, и допустим, что скорости миграции являются линейными функциями переменных п.
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 120 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed