Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
—^ = Sw*i(n;0-^Wi*(n;*)+w^(n;0-w*-(n;0 . _ч dt 7=t 1Ґ, (П.16)
для k = l,2,...,L.
Аналогичным образом могут быть выведены уравнения дисперсий (11.4). Сначала представим
п
{G.C.} {G.C.}
- ? Дп,(*)Р(п;*)-^ E Anfc(*)P(n;«) =
ДньМАпіМ—
dt
= Yl Ап,ЙДпгй^, (11.17)
442
Уравнения средних и дисперсий
Глава 11
где учитывается, что
Ani(t) = Ank(t) = 0. (11.18)
После подстановки основного уравнения (11.13) в правую часть уравнения (11.17) и используя (11.11) и (11.12), получим:
* J п
{G-C.}
+ Yl Yl A«t»AniW(2;-!-l)%(n;0P(n;t)4-
і n {G.C.}
+ Yl Y &nk(t) An^t)(T+1-l)wi-(n;t)P(w,t) =
і n {G.C.}
= YY^ [(6ik-6jk)Am(t)+
i,j n
+ (? - 6ji)Ank(t) + (6ik - 6Jk)(Su - 6Ji)]WiJ(U-J)P(IiIt) +
{G.C.}
+ Yl Y [oik^ni + oiiAnk + 6ik6ii]wi+(n;t)P(n;t)-
i n {G.C.}
~YY1 [oik^ni + oii^k~6ikou]wi-(n;t)P(n;t) =
і n
= \Y AMt)wkj(n; t)~Yl &ni(t)wik(n;t) +
j і
+ Y^ А™* (і)щ (n; t) - Yl (t)wu (n; t) 4-
j г
+ Y^ 6kiwkj (n; t) + Yl 8k\wik (n; t) - wlk(n; i) - wkl (n; t)\ +
443
Математические методы
Часть III
+ <yAniWk+(n\t) + Ankwi+(n;t) + okiwk+(n;t) j -
- j An1Wf.- (n; t) + Ankwi- (n; ?) - 6uwk- (n; *) j. (11.19) Введем обозначения для нетто скорости миграции в состояние k,
з *
суммы миграционных скоростей в и из состояния fe,
(п; *) = Е *) + E w»*(n; *)» (1 L21) і *
суммы скоростей миграции между I и к:
w?kM(n;t)=wlk(n;t) + wkl(n;t), (11.22)
где можно положить wkk(n;t) E 0 во всех формулах, а также введем обозначения для нетто скоростей рождаемости/смертности в состоянии к
w^BD(n; t) = wk+(n; t) - wfc_(n; t) (11.23)
суммы скоростей рождаемости/смертности в состоянии к
wskBD(n; t) = wk+(n; t) + wk.(n; t). (11.24)
Тогда точное уравнение дисперсий приобретает вид: dvki(t)
dt
j AnkwfM (n; t) + An^fM (n\t) +
+ 6klwskM(n;t)-+
+ j bnkw?BD (n; 0 + Aniw?BD (n; *) + *w w?BJ0 (ntf) j • (U-25)
444
Уравнения средних и дисперсий Глава 11
Приближенные уравнения средних и дисперсий
Уравнения средних (11.16) и дисперсий (11.25) являются точными, но не являются замкнутыми, т. е. самодостаточными.
Только в случае, когда интенсивности перехода Wji(rv;t), Wj+(n;t) и Wj_(n;t) являются линейными функциями конфигураций п, эти уравнения становятся замкнутыми.
Во всех других случаях, т. е. когда скорости перехода являются нелинейными функциями конфигурационных переменных {п\,п2,..., Ul}, правые части уравнений (11.16) и (11.25) содержат моменты более высоких порядков. Уравнения для этих моментов содержат моменты еше более высоких порядков. В результате система уравнений получается бесконечномерной.
Уравнения (11.16) и (11.25) могут быть трансформированы в приближенные, но замкнутые (конечномерные) уравнения, посредством разложения интенсивностей перехода гу(п; t) в ряд Тейлора и удержания в нем членов до второго порядка:
w(n;t) = w(n(t);t) + ^ w\p(n(t); t) Anp(t) +
p
+ wlplff(fi(*)' t)&np(t)Anq(t) 4-..., (11.26)
p,q
где
dw(n; t)
Щр{п;і)=д^Г- (1U7)
Отбрасывание членов выше второго порядка предполагает, что они не играют роли в формировании средних значений в (11.16) и (11.25). Однако это выполняется только тогда, когда распределение вероятности P(n; t) — унимодально и имеет достаточно острый максимум.
445
Математические методы
Часть III
Подставляя (11.26) в правую часть уравнений (11.16) и (11.25), получим приближенные уравнения средних:
l
? (w*i(fi(*);0 -wjk(n(t);t)) +
dnk(t) dt
+ wk+(n(ty,t)-wk-(n(t);t) j +
+ ^)Y (*%H<?(fi(0; 0 - wjmq(Hty, 0) ^wW
и приближенные уравнения дисперсий: dvki(t)
dt
Щ\РМ {4t);t)vkp{t) + Y2w%? (n(t);t)*iP(t) p
w!M (¦(*); *) + ^ E «ai. (aW;*) W)
w?/(n(J);J) + \ Y^wli\p\q{^(t)\t)vpq{t)
P
+4
tufBI) (n (J); і) + \ E (n( t) ;t)vpq (J)
. (11.29)
Первая скобка {} в правой части уравнения относится к миграционным процессам, вторая скобка {} — к процессам рождаемости/смертности. Несмотря на их достаточно сложную форму, уравнения (11.28) и (11.29) являются замкнутыми (конечномерными). Если скорости перехода не зависят от времени, т. е.
446
Уравнения средних и дисперсий Етава 11
Wkj(n(t)\t) =Ф> Wkj(fi(t)), то они распадаются на две независимых системы.
11.3. Оценки погрешностей для приближенных уравнений средних и дисперсий
Погрешности приближенных уравнений (11.28) и (11.29) зависят от порядка величины отброшенных членов ряда Тейлора (11.26) и их соответствующих средних значений.
Сначала покажем, как порядки величин интенсивностеи перехода w(n(t); t) и их производных, а так же производных средних значений щ зависят от числа элементов системы:
l
JV = ^n1-» 1. (11.30)
»=1
Напомним, что в случае миграционных процессов эта величина остается постоянной. Введем относительные переменные жг-:
Hi = NXi] 0 ^ JB1-^l. (11.31)
Очевидно, что
0(xi) = 0(1); 0(щ) = O(N), (11.32)
где О (а) означает «порядок величины а». Интенсивности перехода, в частности, миграционные интенсивности перехода, имеют форму (см. (10.30)):
Wji(n; t) = pji(n\ t)-rii, (11.33)
где Пі является количеством представителей популяции вида і и Pji ~ индивидуальная интенсивность перехода из г в j, которая может зависеть только от х = {х{,..., xL}. Таким образом, имеем:
