Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вайдлих В. -> "Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках" -> 109

Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.

Вайдлих В. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках. Под редакцией Попкова Ю.С. — M.: Едиториал УРСС, 2005. — 480 c.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка): socdinam2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 120 >> Следующая

Фі(щ) = 2Щт) - (щ In (щ) - щ). (10.138)
Так как определенный интерес представляют конфигурации n = {пи A2 >..., nL}, соответствующие максимуму вероятности, то воспользуемся классическими условиями экстремума (10.138) при ограничениях (10.129). Получим:
*{і>і(»*)-а(і>-*) i=
^ j=i V i=i ' ^
l
г=1
Щ(п0 ¦
2—--In (я,-) - Л
0,
(10.139)
где Л — множитель Лагранжа. Из (10.140) имеем:
щ = е A exp {2гіг(йг)} =
І\Г exp {2Ui(Ui)} —
X; exp {2щ(щ)}
(10.140)
для г = 1, 2,..., L, где множитель Лагранжа Л определяется из условия (10.129).
Глава 11
Уравнения средних и дисперсий в конфигурационном пространстве
Решение основного уравнения, т. е. распределение вероятности P(n;t) отражает весь процесс стохастической эволюции множества конфигураций n = {п\,п2,... ,пі}. Однако в случае социальных систем только одна или несколько конфигураций из множества, которое описывается распределением вероятностей P(n; t), может реализоваться. Поэтому функция распределения P(n; t) содержит слишком много информации о большом количестве нереализованных систем. Для большинства рассмотрений достаточно сосредоточить свое внимание на среднем поведении и возможном среднем отклонении от него среди рассматриваемых систем.
Известно, что средние значения стохастических переменных {nb ..., nL} определяются в виде:
и их дисперсии vki(t), образующие матрицу дисперсий, имеют вид:
4i(t) - (пк - МО) • (щ - =щ-п}-пк ¦ щ. (11.2)
Если ввести отклонения переменных от средних значений
{P-C}
(11.1)
Il
ДМ*) = (пк - М*))>
(11.3)
438
Уравнения средних и дисперсий
Глава 11
то элементы матрицы дисперсий приобретают следующий вид:
{P.C.}
vkl(t) = E &nk(t)Am(t)P(n-t). (11.4)
n
Суммирование в (11.1) и (11.4) производится по всем конфигурациям.
11.1. Операторы перехода
Сначала введем наряду с конфигурациями {P.C.}: n = {Ti1, п2, ... ,пь} с позитивными полуопределенными целыми щ ^ О, общие конфигурации {G.C.}:
n = {щ,п2,... ,nL}; щ I 0. (11.5)
Введем также виртуальные конфигурации {V.C.}: n = {п\,п2, ... , пі}, для которых по крайней мере одно щ — отрицательное. Пространство общих конфигураций {G.C.} объединяет все реальные и виртуальные конфигурации, т.е. {G.C.} — {P.C.}® {V.С.}.
Все функции F(n), такие как P(n;t),Wij(n;t) и т.д., представленные здесь, определены только на пространстве {P.C.} реальных конфигураций. Расширим их область определения до пространства общих конфигураций {G.C.}, представляя их в виде:
Г F(n) для п Є {P.C.}, F{n) = { (11.6)
0 для п Є {V.C.}.
Определим операторы перехода, которые действуют на функции в {G.C.}, следующим образом:
TiF(TIi,... ,щ, ...,nL)= F (тії, •••, (Щ + 1),... ,nL),
1 Г ч (1l7)
Ti F(ni,... ,пі, ... ,тіь) = F(tii,..., (ті,- - 1),... ,nL).
Определение (11.7) предполагает, в соответствии с обозначениями (10.24), (10.25) и (10.26), что
ifF(n) = F(ni±): Tf1Tf1 F(n) = F(^) (11.8)
439
Математические методы
Часть ITI
и выполняются коммутационные соотношения [Ti, щ] = [ТіЩ - щТ{] = 6ik,
(11.9)
[Ti \ nk] = [Ті - nkTi ]] = -6ік, где 6ік является символом Кронекера
Oik = 1 для і = к,
(11.10)
6ік — 0 для і Ф к.
Повторное применение (11.9) приводит, например, к следующим результатам
nkTtlF(n) = Тг±1(пк 6ik)F(n), (а)
nkT+lTrlF(n) = Т11Т~\пк - 6jk 4- 6ik)F(n), (b)
АщAn1Tf1Tr1F(Ii) = TflTr\Ank + 6ik - 6jk) x
X (Arn +6U - 6ji)F(n). (c)
(11.11)
К тому же очевидно, что выполняются следующие соотношения
{G.C.} {G.C.} {GC.}
]Г Tt1F(Ii) = ]Г Tf1Tr1F(U) = ]Г F(n). (11.12)
п п п
Конфигурационное основное уравнение (10.37) теперь может быть записано в эквивалентной форме, применяя операторы перехода:
= ? (JjH3W _ .(„; t)P{B, t) +
і
|^(i;+!-l)№i-(n;i)P(n;f). (11.13)
440
Уравнения средних и дисперсий Глава 11
Теперь условие нормировки выполняется автоматически. Заметим, что вследствие (11.6) суммирование по {P.C.} может сейчас быть расширено до {G.C.}. Действительно, принимая во внимание (11.12), получаем:
d {GC}
- ? P(M) = O. (11.14)
11.2. Вывод уравнений средних и дисперсий
Уравнения эволюции средних (11.1) могут быть получены путем умножения основного уравнения (11.13) на щ и суммирования по всем конфигурациям п Є {G.C.}. При этом используются равенства (11.11 о) и (11.11/3) и (11.12). Получаем:
dnk(t) _ dP(n: t) _
dt ~ ^ Щ dt
п
l {g.c.}
= ЕЕ - l)w„(n; t)P(n; t) +
і, j п
L {CC.}
+ Е E ЩІТГ1 -l)wi+(n;t)P(n;t) +
г=1 п l {g.c.}
+ Е E nk(Tt+l-l)w^(n;t)P(n;t) =
ї'=1 п
l {g.c.}
= Е E Т^Тг\бік-6Jk)W^t)P(Vt) +
і.j п
l {g.c.}
+ EE 2гч-*«>,-+(п; <)P(n; t) -
441
Математические методы
Часть III
L {G.C.}
~Y1 Yl ^+1ta-(n;J)P(n;J) =
i'=l я
L {G.C.} L {G.C.}
= Y1 Yl wkj(n;t)P(n;t)~Yl Y2 v>ih(n;t)P(n;t) +
J = I n г'=1 n
{G.C.}
+ Yl wk+(n;t)P(n;t)~
n
{G.C.}
- Yl wk4n;t)P(n;t). (11.15)
n
Последняя строка правой части уравнения (11.15) содержит только средние значения интенсивностей перехода. Точные уравнения средних, таким образом, могут быть записаны в компактной форме:
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 120 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed