Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
О = {щ, п2,..., п7}~{1, 0; 2, 0; 3, 0; 4, 0; 5, 0; 6, 0; 7, 0}
и достигает восьми промежуточных состояний I, II, VIII
восемью шагами (1), (2), (8). Последнее состояние VlII совпадает с начальным состоянием О. На каждом шаге будем отмечать только те значения к, которые изменились, например (ki = 3,kj = —2) =>• (ki = 2, kj =¦ -1). Тогда рассматриваемую цепь можно представить в следующем виде:
Начальное состояние I={1,0; 2,0; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0; 7,0} Переходный шаг (1) = (к2 = 0, к4 = 0) —* (^ = — 1, &4 = +1) Достигнутое состояние I = {1,0; 2, — 1; 3,0; 4, -f 1; 5,0; 6,0; 7,0} Переходный шаг (2) = (a3 = 0, к4 = 1) —* (&3 = — 1, к4 = +2) Достигнутое состояние И = { 1,0; 2, -1; 3, -1;4, +2; 5,0; 6,0; 7,0}
Переходный шаг (3) = (к6=0,к2 = —\)-+ (к^ = — \,к2 = 0) Достигнутое состояние Ш = {1,0;2,0;3,-1;4,+2;5,0;6, —1;7,0}
Переходный шаг (4) = (fe6 = — 1,к5 = 0) —> (к^ = -2,A5 = 1) Достигнутое состояние IV = {l,0;2,0;3,-l;4,+2;5, + l;6,-2;7,0}
432
Основное уравнение
Глава 10
Переходный шаг (5) == (fe5 = -f-1; fe4 = 4-2) —*¦ (&5 = 0; к4 = 3) Достигнутое состояние V = {1,0;2,0;3, — l;4,-f 3;5,0;6, — 2; 7,0}
Переходный шаг (6) = (к4 = 3,кв = —2) —* (к4 = 2;k? = — I) Достигнутое состояние VI = {l,0;2,0;3,~l;4,+2;5,0;6, —1;7,0}
Переходный шаг (7) = (fe4 = 2, fc3 = — 1) —* (fc4 = 1; к$ = 0) Достигнутое состояние VII = {],0;2,0;3,0;4, + 1;5,0;6, — 1; 7,0} Переходный шаг (8) = (к4 = 1, fc^ = -1) —* (fc4 = 0, feg = 0) Достигнутое состояние VIII=J = {1,0; 2,0;3,0;4,0;5,0;6,0; 7,0}
(10.121)
На рис. 10.1 изображена эта цепь.
к
3
(6) (5)
2
Л. А
7 г
(1) (?) (?) (7)
(3) (?)
-2
4) (6)
V
Рис. 10.1. Графическое изображение замкнутой цепи (10.121)
433
Математические методы Часть III
На рисунке каждому из 8 переходных шагов принадлежат восходящая и нисходящая стрелки. Каждой восходящей стрелке из hi к (ki + 1) принадлежит нисходящая стрелка из (fct- + 1) к fe», потому что цепь замкнутая и конечное состояние, после всех переходных шагов, должно совпадать с начальным состоянием {1,0; 2,0; 3,0; 4, 0; 5,0; 6,0; 7, 0}.
Отсюда следует, что количество восходящих и нисходящих стрелок одинаковое, и произведение множителей (10.120), (10.121) равно 1. Поскольку от размеров цепи это свойство не зависит, то условие (10.110) удовлетворяется для любой замкнутой цепи.
10.5.2. Формирование стационарного решения P8t(nu ..., nL)
Теперь мы можем сконструировать в явном виде стационарное решение миграционного основного уравнения с интенсивностями перехода (10.117), посредством применения формулы (10.108).
Начиная с начального состояния {JV5 0, 0,... , 0}, выберем следующую «стандартную цепь» к произвольному состоянию n = {п{, w2,... , nL}\
C = I(N1 0,...,0)^(iV-l,l,0,...,0)...-+ -+ (JV - w2, w2, 0,... , 0) -* (N - Ti1 - 1, п2, 1, 0,
(N -п2- W3, гс2, W3, 0,... , 0) -+(JV-W2-W3-I5 п2, w3, 1, 0,... , 0)... -+ -+ (Wi, w2, w3,... , пь)}.
Обозначим
WJi(IiJi I n) => wji(rij -f 1, Щ - 1 I Tij, щ) =
= fiji • щ ¦ exp {uj(iij 41)- щ(пі)}. (10.123)
(10.122)
434
Основное уравнение
Глава 10
В соответствии с (10.108) первые п2 шага цепи имеют вид Pst(N-п2,п2,0, ...,0) =
Tl2-I
+ 11 ":^7^^,0,-.О). (10.124)
V=O
Wn(N - V, V I N - V - 1, V + 1)
Или после подстановки (10.124) в (10.125).
Pst(N -п2,п2, 0,...,0)
JV(iV-1)... (iV-n24-1)
Ti2'
{Ti2 ЛГ V
2^) «2М-2 ]Г H1(Iz)^(JV, 0,...,0). (10.125)
X ехр
Продолжая эту процедуру далее, получим
L
Pst(n\,n2,. ..,U1)
Z-'oferii-N) L
1 i=l
ехр
щ\п2\.. .7Z2,!
В этом выражении введены «потенциалы полезностей»
і)>. (10.126)
UM) = Y «іМ. ДЛЯ > l ^(°) = 0- (10Л2?)
i/=i
Кроме того учтем, что только конфигурации П = {7Zi, TZ2, ... , TZi} с
I
]Trz,=iV (10.128)
»=і
имеют ненулевую вероятность, с помощью символа Кронекера
1 для Y2 Пі =
г=1 L
0 для ^Г^ ?гг ф N.
(10.129)
435
Математические методы
Часть Ш
Вероятность начального состояния представим в виде
W.....0)-=?ifM.'. (,„.,зо,
где коэффициент Z определяется из условия нормировки
^2pst(nun2,...,nL) = \ (10.131)
и имеет вид
6(EfIi-N) ехр Ь E ui(ni) }
чі=1 / К i=l '
Z = Y^—^-—-. (10.132)
^ UiIn2I... Ul1-
В этом случае суммирование производится по всем конфигурациям п(тгь ... , nL).
Рассмотрим функцию полезности щ(щ), которая была получена на основе обработки эмпирических данных по межрегиональной миграции:
Ui(rii) = 6i + «,-л,- - &іп\. (10.133)
В этом случае получим следующие выражения для потенциалов полезности:
Щщ) = 6і ]Р і + «і ]Рv - ai Yl1/2 -
1/=1 i/ = l v=l
щ(щ + 1) TIi(W1- + 1)(2п,- + 1)
= $Tii+ «і---L-(Ti—-P--. 10.134)
2 6
В большинстве практических применений приходится сталкиваться с большими значениями щ > 1, с і = 1, 2,..., L. В этих случаях можно применить формулу Стерлинга для факториалов
п! = ті" (10.135)
436
Основное уравнение
Глава 10
и аппроксимировать потенциалы полезности в виде:
п
Щп) и J Ui(i/) dv.
(10.136)
где
о
Тогда приближенное выражение для Рв*(п) имеет вид:
P.t(n)= г'1б(^щ - n\ exp j ®Ы\, (10.137)
^ і=1 ' ^ *=1 ^
