Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
Пусть (10.110) выполняется. Покажем, что при этом условии вид Pst(\n) (10.108) не зависит от выбранной цепи С.
Для того чтобы показать это, давайте выберем другую цепь C'{Jo = ioJbJ2 •••Jn' = In} с тем же начальным состоянием j0=io и тем же конечным состоянием Jn'—In^ Тогда нужно доказать, что формула
п'-1
Т> п \ {с'} ТТЗД0"Ч-1 I J„)„ , /1П11ПЧ
определяет то же распределение, что и (10.108). Для этого требуется:
^^!Ь^ ^П^^, (10л11)
428
Основное уравнение Глава 10
что эквивалентно формуле
{C)U ^±іЩ = 1 (Ю.112)
для замкнутой цепи
?{i(b 'b • • • , '1Ti ~ Jn'э in+l=Jn'-b • • • > in+n'-l=jb Іп-fn'=Jo=io}-
Таким образом достаточность доказана.
Для того чтобы завершить доказательство эквивалентности формулировок (10.110) и (10.107), покажем, что (10.107) следует из (10.108). Для этой цели рассмотрим случай, когда состояния (i=in_i) и (}=in), т. е. они входят в цепь C{k, U,... in-i, in}. Применяя формулу (10.108), получим
р-©= (С,П^^,(ь) =
™(І і о TT w(wi i m „ /. ч _
w(I І і) ,
= -^7^0). !©-из
«Ф ij)
Формула (10.114) заключает доказательство эквивалентности двух формулировок (10.107) и (10.110) условий детального баланса.
10.5.1. Пример: применение к конфигурационному основному уравнению
Рассмотрим применение этого метода построения стационарных решений для случаев, где детальный баланс выполнен по отношению к конфигурационному основному уравнению (10.38) без процессов рождаемости/смертности. Так как миграция индивидов между состояниями i,j,k... не изменяет общего количества
429
Математические методы
Часть HI
населения
N
E
i=i
(10.114)
(10.115)
то основное уравнение должно иметь стационарное решение. Представим интенсивности перехода в виде:
wji(пji I n) = рji(п) • щ = цji ехр {uj(nji) - щ(п)} • щ
С fJ-ji — Pij-
Они отличаются от (10.76) и (10.79) тем, что функции полезностей щ, Uj теперь зависят от начальной конфигурации п и конечной конфигурации п^, соответственно.
Это обобщение приводит к нелинейным зависимостям интенсивностеи перехода от конфигурации переменных. Этот факт принципиально изменяет динамику системы. (В частности, пуас-соновское распределение в разделе 10.4 более не является решением основного уравнения.)
Рассмотрим случай
Wji(nji I n) = рji ехр {uj(rij + 1) - щ(щ)} • щ
гдє р ji = Pij.
Здесь полезность щ состояния і зависит только от количества щ индивидов, занимающих это состояние. То же самое сохраняется и для Uj (заметим, что щ является количеством индивидов в состоянии і до миграции и (Ti7- -f 1) — количеством индивидов в состоянии j после миграции одного индивида из і к j).
Для интенсивностеи перехода (10.117) можно доказать, что условие детального баланса выполняется.
Рассмотрим все состояния, для которых
WJi(IiJi I П) рji ехр {ttj(Ti7- + 1) - щ(щ)} • щ
(10.116)
((П I l\ji) pij ехр {щ(щ) - Uj(TIj + I)} • (ті,- + 1)
ехр {luj(rij -f I)}
(TIj + 1)
ехр {2щ(щ)}
Пі
(10.117)
430
Основное уравнение Глава 10
Замкнутая цепь состояний начинается с конфигурации п = {п\, п2,... , тії). Промежуточные конфигурационные состояния п 4- к цепи достигаются несколькими последовательными миграционными шагами индивидов из любого состояния j. Каждая промежуточная конфигурация имеет форму:
n 4- k = {тії + ки пі + къ • • • , пі + kL},
где щ 4- кі ^ 0 с fcj — 0, ±1, ±2,...
L (10.118)
и где E кі = 0. »=і
Так как цепь замкнута, конечная конфигурация совпадает с начальной конфигурацией n = {тгь тг2,. • •, nL}, т.е. с k = {0,0,...,0}.
Необходимо доказать, что произведение дробей в (10.118), принадлежащих к шагам, ведущим от одного состояния к другому состоянию в замкнутой цепи, равно 1. Покажем это посредством представления шагов и промежуточных состояний замкнутой цепи в графической форме.
Конфигурационные состояния (10.119) могут быть изображены на двумерной решетке точками (узлами), имеющими координаты (x,y) = (i,k), где « = 1,2,.. .,L и fe,- = 0,±l,±2,±3,.... Общая конфигурация n4-к представлена набором точек {1,к\;2,к2;...L,кі},
L
причем ]T)fej;=0. Конфигурация п соответствует {1,0;2,0;... ;L,0}
и переход из состояния n 4- к в смежное состояние посредством миграции индивида из вида і в вид j соответствует
{1, fei; fei; ... ; j, kf, ... ; L1 kL} =>
=» {l, fei;... ;*, fei - 1;...; j,kj + 1;...; L, feL}.
Этот переходной шаг может быть представлен двумя стрелками, восходящей стрелкой из точки (j, kj) к (j, kj 4- 1) и нисходящей стрелкой из точки (г, fei) к (г, fcj - 1).
431
Математические методы
Часть III
Примем, что восходящей стрелке соответствует множитель (см. 10.118)
ехр {2uj(nj -f kj -f- 1)}
T
и нисходящей стрелке соответствует множитель
CXU і LUiMLi -+- Ki ) Г 1
I =
(rij + kj + 1) ітствует MHO^ ехр {2щ(щ + ki)}
(10.119)
(10.120)
(Щ + ki)
Переходному шагу соответствует произведение этих двух множителей согласно (10.118).
В качестве примера выберем замкнутую цепь в конфигурационном пространстве с L = 7 видов (г = 1,2,...,7), которая начинается из начального конфигурационного состояния
