Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
10.3. Свойства решений основного уравнения
Теперь мы возвращаемся к основному уравнению (10.22) в общем пространстве состояний (с системными состояниями, обозначенными к,...) для того, чтобы рассмотреть некоторые свойства его решений. Но сначала сделаем некоторые допущения относительно интенсивностей перехода wt(j І і), которые, в большинстве случаев, выполняются.
1. Независимость от времени:
wt(j j i) = w(| |i). (10.38)
413
Математические методы
Часть III
Это означает, что скорости перехода зависят только от начального і и конечного j состояний, но не от времени t. 2. Связность:
w(io I in-l) ' wyn-l І in-2) ' • • •
• W(I1 I I0) > 0. (10.39)
Нормировка P(j; ?):
Суммируя левую и правую части уравнения (10.22), получим:
~ X П, *) = X>(f I J)P(I; 0 - X ™(j I J)P(I; *) = о. (10.40)
j j,i j.i
Существование стационарного решения Ps<(i)
Из уравнения (10.22) имеем:
с с
о=X N і |)р-.(|) - ш і j)prt о)]=X Lo і i)p-«(i),
ІТГ t~f (10.41)
j= 1,2,.. .с,
где коэффициенты
LO І і) =Ц1М)-<% X^(M О- (10.42)
k
Это система с линейных однородных уравнений для Pe*(i). Она имеет нетривиальное решение Pst(i) ^ 0, если определитель
HLOIi)H=O. (10.43)
Равенство нулю определителя означает также, что уравнения (10.41) не являются линейно независимыми. Действительно, суммируя (10.41) по j, получим:
XbOIi)P^O) = O
ы
(10.44). и также у, ^O I О = 0.
414
Основное уравнение Глава 10
Отсюда следует, что существует по крайней мере одно нетривиальное решение Ря*(і) ^ 0. Это решение находится с точностью до множителя, который определяется из условия нормировки
с
х>.*(*) = 1- (10.45)
1=1
Положительная полуопределенность P(j; О и положительная определенность PstQ)
Сначала докажем утверждение: Если начальное распределение P(j; 0) является положительно полуопределенным, т. е.
P(I; O)^o, (10.46)
то
P(IJo)^O (10.47)
для всех to > 0, если P(JlO удовлетворяет основному уравнению (10.22).
Доказательство. Очевидно, что в начальный момент времени to состояние jo достигается с нулевой вероятностью, в то время как для других состояний і ф J0 вероятности пребывания системы в них положительно полуопределенны:
P(IoJo)=O; P(i; J0)^O для і ф J0. (10.48)
Тогда dPtfo; *)
t=tu
dt
1 ^o $>о 1 о
(10.49)
В соответствии с уравнением (10.49) производная P(JoJ) является либо положительной, либо равной нулю во время t — to. В силу непрерывности P(J0; to + т) положительно полуопределена, т. е.
P(JJ)^O (10.50)
415
Математические методы
Часть III
сохраняется для всех значений времени, если выполняется начальное условие (10.46).
Отсюда следует, что стационарные решения
PstQ)>0. (10.51)
Сейчас покажем, что
Pstij) > 0 для всех состояний j. (10.52)
Доказательство.
Допустим, что существуют состояния J0, для которых
PsM=O. (10.53)
Действительно, из (10.53) и (10.41), следует, что
с
X>(Jo I О Р.*0) = 0. (10.54)
Так как все выражения в сумме (10.54) являются положительно полуопределенными, то они могут обратиться в нуль только, когда
P,t(in-i) = P.tQn-2) = • - • Pst(h) = 0. (10.55)
Следовательно, стационарное распределение
Р..0о)=0 (10.56)
для каждого состояния i0. Это, однако, противоречит условию нормировки (10.45). Поэтому допущение (10.53) неверное и стационарное распределение строго положительно.
Устойчивость единственного стационарного решения
Теорема: Любое решение P(i; t) основного уравнения достигает при t —> оо единственного стационарного решения Pst(i) основного уравнения, если выполнены условия (10.38) и (10.39).
При доказательстве этой теоремы используется известная Н-теорема Л. Больцмана.
416
Основное уравнение Глава 10
Рассмотрим функционал H(i) = F{P(i); P8J, удовлетворяющий следующим условиям:
1. H(t) ^ 0, и Я = 0, если P = Ряь
2. ^ 0, если P(A) и Pst удовлетворяют основному уравнению;
3. ^ = 0, если Р(*)=Р.*.
Если такой функционал H(t) существует, то он является функционалом Ляпунова для основного уравнения и, следовательно, единственное стационарное решение устойчиво.
Следуя Н-теореме Больцмана, выберем соответствующую форму H(t) и докажем существование свойств 1), 2) и 3). Выберем функционал H в виде:
ж*) = іхм) In(HI)1 (10.57)
где
0<P(J;t) < 1, 0 < P1(J; *) < 1 (10.58)
и
Хр(ї;*) = Х)ріО;*) = і (^¦59)
j j
являются двумя нормированными решениями основного уравнения (10.22).
Доказательство (1). Очевидно, что
#(0 = 0 для P(M) = JPi(I;*). (10.60)
Запишем H(t) в форме
я(*) = X {р(у,t) ш - PO;0 + PiO;*)} =
= X рі(і' *){Я0;*)ln (?(i; *)) - ДО; *) +1}> (ю.бі)
417
Математические методы Часть III
где
(10.62)
В (10.61) было использовано равенство (10.59). Заметим, что члены под знаком суммы в (10.61) всегда положительны или равны нулю. Это следует из (10.58) и
R
{RInR-R+l} = J ln(x)dx^0 для R > 0. (10.63)
Это доказывает свойства H(t) ^ 0.
Доказательство (2). Доказательство свойства 2 выполняется после некоторых преобразований. Сначала вычислим производную H(t):
dH(t) ґ •, ч /P(M)
dt
Pi(M
P1U;*) [P(j;*)Piu;Q-Pi(j;*)P(i;*)]
