Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
{і2}
OP(M2 I M)
+ 0(т2). (10.16) (10.17)
0. (10.18)
Введем понятие интенсивности вероятностного перехода:
OP(I2J2Ii1J)
щ(Ь I *i) =
dt:
(10.19)
Тогда, принимая во внимание (10.17) и (10.18), уравнение (10.16) можно представить в следующем виде:
P{l2,t + T\\ut)=TWt(\2\U)+0(T2)
для і2 Ф \\
(10.20)
409
Математические методы
Часть III и
P(X1, t + г I I1, t) = 1 - Y, rwtd I ii) + 0(r2)
iA (10.21)
для I2 - ii.
Теперь, подставляя (10.20), (10.21) в (10.15) и переходя к пределу при г —> 0, после очевидных преобразований получим основное уравнение в следующем виде:
r P(i2;t+ T)-P(I2-J) dP(h;t)
lim-= —-— =
г->о г dt
= ]Г Wt(I2 I ii)P(ii; t)~Y, I h)P(h\ t), (10.22)
її і]
где суммирование производится по всем ii Ф \2. (Формально можно суммировать по всем ii, вютючая ii = \2 с произвольным I h), так как в уравнении (10.22) они сокращаются.)
Так как основное уравнение (10.22) справедливо для любого распределения вероятности P(i;t), оно сохраняется, в частности, для условной вероятности P(i, 11 Іо, to).
Теперь мы дадим возможную интерпретацию основного уравнения. Сначала заметим, что выражение г • wt(\2 | іі)Р(іь t) является вероятностью перехода из состояния іі в состояние І2 во временном интервале т. Так как вероятность по определению положительна, то интенсивность перехода wt(\2 | S1) тоже должна быть положительной или равной нулю. Выражение wt(\2 \ ii)P(i\,t) может быть определено как поток вероятностей (в единицу времени) из состояния іі в состояние i2. Иными словами, основное уравнение описывает изменение скорости вероятности, которое происходит под влиянием двух противоположных потоков, входящих в правую часть уравнения (10.22). Первое слагаемое в правой части уравнения (10.22) описывает поток вероятностей из всех состояний іі в состояние І2. Второе слагаемое в правой части уравнения (10.22) описывает поток вероятности из состояния i2 во все другие состояния І] .
410
Основное уравнение Глава 10
10.2. Основное уравнение для конфигурационного пространства (процессы миграции, рождаемости и смертности)
В предыдущем параграфе пространство дискретных состояний і было рассмотрено в общем случае. Рассмотрим, как эти общие конструкции можно применить для пространства конфигураций на примере процессов миграции, рождаемости и смертности.
Пусть социальная система состоит из общего населения, разделенного на L групп (i = 1,2,..., L).
Обозначим через щ количество индивидов вида і. Тогда конфигурация населения приобретает вид:
n = {щ,..., щ,... , nL}. (10.23)
Теперь давайте введем три типа конфигураций, близких к конфигурации (10.23):
"ji ={П],. • •,К + 1),. .., (щ - 1),... ,nL}, (10.24)
Пг+ ={пь. , (щ + 1),.. • ,nL}, (10.25)
Пі- = {щ,. • ¦, («і -!),-• ¦ ,nL}. (10.26)
Очевидно, uji возникает из п, если один индивид вида і переходит в вид j. Соответственно, пг+ возникает из п, если один индивид вида і рождается, а пг_ возникает из п, если один индивид вида і умирает.
Для описания этих элементарных переходов введем соответствующие интенсивности миграционных переходов из і в j:
wt-ji(nji I n) = Wji(n; t), (10.27)
интенсивности рождаемости вида і
«?*;,¦+(n»+ I n) = wi+(n; t),
411
(10.28)
Математические методы Часть III
интенсивности смертности вида і
W^-(Ii1-- In) = Wi-(Ii;*). (10.29)
Если щ индивидов вида і имеет одинаковые и независимые индивидуальные интенсивности перехода Pji(n;t) из і в j, то конфигурационные интенсивности перехода (10.27) могут быть записаны в форме
«/,,-(її; t) = pji(n; І) • щ. (10.30)
Конфигурационные интенсивности рождаемости/смертности предполагаются пропорциональными щ\
wi+(u;t) = ?i(n;t)-ni, (10.31)
W1'-(n; t) = т(п; t) • щ, (10.32)
где ?i(n; t), ?i(n; t) являются интенсивностями рождаемости/смертности одного индивида вида і, соответственно.
Полагаем, что список возможных переходов полный, поэтому
wt(n'|n) = 0 для n' ^п^,пг+,п,_ с ;",« = 1,2,... (10.33)
Поскольку конфигурации случайны, эволюция системы в конфигурационном пространстве описывается в терминах эволюции функции распределения вероятностей конфигураций P(n; t). Для нее выполняется условие нормировки:
p.c.
]Г)Р(п;*) = 1, (10.34)
п
где сумма простирается на все возможные конфигурации населения. Более того, здесь существует условная вероятность
P(M2 In', J1) (10.35)
нахождения конфигурации п во время t2, если система находилась в конфигурации п' во время t\. Условная вероятность (10.35)
412
Основное уравнение
Глава 10
удовлетворяет фундаментальному уравнению (10.12):
p.c.
Р(п; t2) = X) к I п, J1)P(Ii'; Ji), (10.36)
Из уравнения (10.36) может быть выведено таким же, как и в разделе 10.1, способом основное уравнение для стохастических систем с процессами миграции, рождаемости и смертности:
dP(n;t)
ш = Wij(iiji\t)P(iLji\t)- Wji(n;t)P(n;t) +
L L
+X) w(+і**-; OP(11I -; 0 - X) щ+(п; 0р(п; 0+ +X)Wi-(Iu+JOP(IIi+JO-X)w*-(n5*)P(n;*)- (10-37)
Первая, вторая и третья строки правой части основного уравнения (10.37) содержат разности вероятностных потоков миграционного процесса, процессов рождаемости и смертности, соответственно.
