Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
Прежде чем переходить к основному уравнению, полезно напомнить некоторые фундаментальные понятия теории вероятности. Первое из них — функция распределения вероятностей
P(i;t)>0. (10.1)
По определению P(i; t) является вероятностью пребывания системы в состоянии і во время t. Эта вероятность имеет следующую интерпретацию. Рассматривается множество, состоящее из очень большого числа систем одинаковой структуры и одинакового набора возможных состояний IJ.... За вероятность пребывания
405
Математические методы
Часть III
системы в состоянии і во времени t принимается отношение количества систем, которые находятся в этом состоянии, к общему количеству систем в данном множестве. Строго говоря, следует определить предел этого отношения при стремлении емкости множества к бесконечности.
Так как каждая система находится в одном из состояний і в момент времени t, функция распределения вероятностей должна удовлетворять условию
Рассмотрим важное понятие теории вероятности — условную вероятность
По определению, это вероятность нахождения системы в состоянии i2 во время ti, при условии, что она во время t\ находилась в состоянии ii. Условная вероятность является фундаментальной для изучения динамики системы, так как описывает, как изменяется вероятность состояний системы во времени.
Буквы «п.и.» в выражении (10.3) указывают, что условная вероятность может также зависеть от предыдущей истории системы, т. е. от состояний, пройденных ею до достижения СОСТОЯНИЯ Ii во времени t\.
Для большинства динамических систем выполняется так называемая гипотеза Маркова, которая постулирует, что эволюция во времени условной вероятности P(I2, t2 I h,t\) зависит только от предыдущего состояния ii во время ii и не зависит от состояний системы, которые она занимала до момента времени J1. Иными словами, после достижения состояния I1 во время t[, система «потеряла свою память», так что состояния до t± не имеют значения в процессе дальнейшей вероятностной эволюции.
(10.2)
{і}
P{hJi I Мь п. и.).
(10.3)
406
Основное уравнение Глава 10
ЗамеТИМ, ЧТО НемарКОВСКИе ПрОЦеССЫ, ДЛЯ КОТОрЫХ P(l2,t2 I
\\,t\, тім.) зависит от предшествующей истории, могут быть трансформированы в марковские процессы посредством расширения пространства состояний. Поэтому в дальнейшем индексы «п.и.» в (10.3) будем опускать.
Рассмотрим некоторые свойства условной вероятности. Из ее определения следует, что
P(Mi IMi) = *уі (10-4)
где Ai2I1 — символ Кронекера:
«,ц = 1 ДЛЯ I2 = I1,
Ox1X1 - 0 для і2 Ф ii
и
X)P(MzIMi) = I. (10.6)
{Ь}
Введем совместную вероятность
P(Mn5 in-itn-i, ¦ • ¦, Ы2, hti). (10.7)
По определению п-кратная совместная вероятность (10.7) есть вероятность нахождения системы в состоянии ii в момент времени , в состоянии ї2 — в момент времени t2, ..., в СОСТОЯНИИ In — в момент времени tn.
Из этого определения следует, что «низшие» совместные вероятности могут быть получены из «высших» посредством формулы приведения:
Р(Мз, Mi) = Р№, ht2, Mi) (10.8)
или, в общем случае:
P(\ntn,..., ife—life—1,..., Mi) =
= Yl •^0»*»' • ¦ • , h+\h+i, hh, U-iifc-ь • • • > Mi)- (10-9)
{U
407
Математические методы Часть III
Для систем, обладающих марковским свойством, все совместные вероятности могут быть выражены через вероятность (ЮЛ) и условную вероятность (10.3):
P(ht2, Mi) = P(i2, h І іь J1)P(I1; J1). (10.10)
В общем случае будем иметь:
P(Mn, U-itn-i, • • •, M2, Mi) =
= P(In, J» I in-i,tn-i) ¦ •. P(I2, k I «ь *i)P(ii;*i). (10.11)
Из уравнения (10.10), суммируя по всем J1 и используя формулы приведения, получим:
P(i2; J2) = Y, Р(«2*2, Mi) - S Р(Ь, h І Mi)P(M *i). (10.12) Ы {hl
Уравнение (10.12) показывает, как распределение вероятности P(i; J) преобразуется от J1 к t2 посредством условной вероятности P(h, h і її, J1). Последняя является ядром указанного преобразования. В англоязычной литературе оператор преобразования (10.12) называют «пропагатор» ("propagator").
Подставляя (10.11) в формулу приведения (10.8), получаем:
P(I31J3 IMi)PMi) =
= ]?р(Мз IM2)PM2 IMi)PMi). (10.13)
lb)
Так как уравнение (10.13) справедливо для произвольных начальных распределений P(IbJ1), то должно удовлетворяться следующее условие:
Р(із, U 111, J1) = Р(Ь. *з IJ2, *2)P(i2, t2 I I1, J1). (10.14)
{І2}
408
Основное уравнение Глава 10
Уравнение (10.14) является уравнением Чэпмана—Колмогорова. Оно показывает, как функция распространения (пропагатор) из tx к t3 может быть разложена на функции распространения из t\ к t2 и из t2 к ?3.
Основное уравнение
Основное уравнение сейчас легко может быть выведено из уравнения (10.12), поскольку оно есть не что иное, как дифференциальная версия уравнения (10.12). Рассмотрим интервал т — (t2~ ti) и перепишем уравнение (10.12) в виде:
P(i2; t + г) = р(Ь> * + r I M)P(IiJ *)¦ (Ю-15)
Полагая интервал г малым, разложим P(i2, t + г | I1, ?)P(i2, t + r\ \\,t) в ряд Тейлора вокруг t :
P(I2, t + T |іь і) =
0P(M2IM)
= Р(І2,І|Іь*)+т
0І:
Используя (10.4) и (10.6), получаем P(MIM) = ^i1
E
