Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
В главе 3 мы ввели вероятностные скорости перехода, которые описывают изменения отношений и действий индивидов, в зависимости от параметров направления и макропеременных.
Эти скорости перехода кажутся отвечающими всем концепциям социодинамики. Они содержат вероятностные и детерминистские компоненты. Одновременно они обеспечивают связь между микро- и макроуровнями общества. Описывая деятельность ин-
401
Математические методы Часть III
дивида, в зависимости от макропеременных общества, интенсивности перехода предполагают нисходящее взаимодействие. С другой стороны, совокупный совместный эффект индивидуальных изменений в отношениях или действиях, вызванный скоростями перехода, ведет к изменению макропеременных, отсюда —-макросостояния общества. Поэтому он обеспечивает восходящее взаимодействие от микро- до макроуровня.
Таким образом, нам нужен математический формализм, использующий эти скорости переходов, для описания обшей вероятностной динамики общества или его отдельных секторов на макроуровне.
Этот универсальный математический формализм для стохастических динамических систем существует и он получил развитие в работах некоторых крупных ученых-математиков. В основе этого формализма находится основное уравнение, описывающее эволюцию распределения вероятностей переменных с течением времени.
Вследствие своей всеобщности этот формализм может быть применен к различным по своей природе системам. В естественных науках, в частности в статистической физике, широкое применение формализма основного уравнения давно осуществляется в тысячах работах, в то время как в социальных науках всеобъемлющее применение этого формализма не столь давнее. Намерением автора этой книги и исследовательской группы, как и целью самой книги, была демонстрация универсальности этого формализма в широком спектре его применения в социальных науках.
В последующих главах мы дадим введение в формализм основного уравнения, который можно освоить без владения специальными математическими знаниями. Завершенность методов не является предметом рассмотрения этих глав. Наоборот, мы намереваемся дать согласованное понимание свойств основного уравнения и производных от него уравнений. Нашим намерением
402
Математические методы
Часть III
является сосредоточение на проблемах, относящихся к моделированию социальных систем при помощи этого формализма.
Несмотря на то, что главы 10, 11 и 12 являются практически самодостаточными, для заинтересованного читателя мы дадим некоторые ссылки на соответствующую литературу о математических методах и их применениях. Одна часть этой литературы относится к математике стохастически развивающихся систем ([1]-[8]), в то время как другая ее часть относится к нелинейным динамическим системам, включая системы, проявляющие детерминированный хаос ([9]-[14]).
Глава 10
Основное уравнение
10.1. Вывод основного уравнения
Детерминированные и вероятностные системы
Рассмотрим систему, которая может проходить через различные состояния с течением времени. Для простоты допустим, что состояния системы — дискретные, так что индекс і, характеризующий каждое состояние, является целым числом или набором і = {*ь *2> ¦ • • > *п} целых чисел. Пусть в начальный момент времени to система находится в состоянии i0 = \(to)- Тогда существует два возможных описания ее временной эволюции. 1. Информация о динамике системы может быть исчерпывающей. В этом случае описание полностью детерминированное и ведет к однозначному определению состояний \(t) в последующие моменты времени.
В качестве примера такой детерминированной системы может быть взят любой компьютер с конечным (ограниченным), хотя и очень большим, количеством состояний і. Начиная с начального состояния \q , установленного программой, процессор, запоминающие устройства и периферийное оборудование КОМПЬЮТера ПрОХОДЯТ РЯД СОСТОЯНИЙ I1, I2, ... IjV, полностью предопределенных программой. Единственный однозначный результат вычисления представляет собой конечное состояние системы.
404
Основное уравнение Глава 10
2. Напротив, информация о динамике системы может быть неполной. В этом случае описание эволюции системы во времени может быть только вероятностным. Это означает, что точное прогнозирование состояния \(t), достигнутого отдельной системой, невозможно. Более того, члены ансамбля систем идентичной структуры, каждая из которых находится в начальном состоянии \{to), попадут с течением времени в различные состояния. В этой ситуации можно лишь утверждать, что система, находящаяся в состоянии I0 во время t0, достигает состояния і во время t с вероятностью P(i, t I \o,t0). Это вероятность определяется как «условная вероятность».
Сравнивая детерминированную и вероятностную эволюции, мы должны отметить, что последняя является более общей формой динамики, так как случай неполного знания о системе включает и исчерпывающие знания, как предельный случай. Этот случай отражается в форме распределения вероятности P(i; t), которое имеет вид 6-функции на наиболее вероятном состоянии \max(t).
Некоторые сведения из теории вероятности
