Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
g(P) = Е (“*)> (7)
234
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ. VIII
где
е* = МР). (8)
В равенстве (7) слева стоит совершенно произвольный элемент (4) из кольца Я. Коэффициенты g(ak) справа являются элементами поля 2. Из (7) следует, что элементы еъ еп составляют некоторый базис кольца Я над полем 2:
Я = ех2 -(- с22 —... —К ея2. (9)
Выберем в (7) в качестве § константу 1; тогда получится
1 = 2*. (10)
і
Произведение двух многочленов Р;- (х) и Рк {х) при / Ф И делится на 1(х). Если перейти опять к классам вычетов по модулю Цх), то получится
Є/Єк = 0 (ІФЩ- (11)
Умножим (10) слева и справа на еу; тогда получится
е/е/ = е;-. (12)
Когда у пробегает поле 2, произведения еру пробегают поле
е;-2, изоморфное полю 2, потому что сопоставление у—*-е;у яв-
ляется, очевидно, изоморфизмом. Единичным элементом в Є/2 является е;-.
Выберем в (7) в качестве g(x) многочлен с коэффициентами из Д; тогда слева получится произвольный элемент ^((3) поля 2'. Умножим обе части в (7) еще на с/, тогда получится
в/2(Р) = в/г(ау). (13)
Если ?(Р) пробегает все элементы из 2', то g(a.j) пробегает
все элементы из 2; таким образом, из (13) получается
в/2'=в/2. (14)
Итак, разложение (9) можно записать также в виде
Я = гх2' -ф...-\геп?‘\ (15)
т. е. элементы е1, .... еп составляют некоторый базис кольца Я над полем 2'.
Автоморфизмы а поля 2 могут быть распространены на кольцо 2 [лс], если условиться, что они сохраняют переменную а: ха = х. Таким образом, автоморфизм о будет действовать лишь на коэффициенты gll многочленов (3). Если теперь опять перейти к классам вычетов по модулю/(а), то получатся автоморфизмы сгх, ..., ап кольца Я, которые переставляют между собой элементы ах, ..., ап, но каждый элемент поля 2' оставляют на месте.
§ 67] НОРМАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ 235
В частности, применим автоморфизм ок к определенному с помощью (6) многочлену Рх (х); тогда получится
ацРу.{х) = Рь{х), (16)
и, следовательно,
Оке1 = в к.
Отсюда следует, что
оек = а (ст/А) = (сгсг*) ^ = сг;е, = е{. (17)
Таким образом, элементы еъ еп составляют некоторый нормальный базис кольца Р над полем 2'.
Пусть теперь ии ип — произвольный базис поля 2 над полем А. Многочлены Рк (х) могут быть выражены через этот базис так:
(х) = ^ (х), (18)
где ри, (х) — многочлены с коэффициентами из А. Опять-таки перейдем к классам вычетов; получим
где п1к — классы вычетов многочленов ри, (а) по модулю / (х). Так как ек составляют линейно независимый базис кольца Р над полем 2', то определитель элементов Лц, отличен от нуля. Следовательно, определитель О (х) многочленов Ри, (х) отличен от нуля.
Так как основное поле предполагается бесконечным, в качестве х можно подобрать такое значение а из А, что
^ (а) = Ое1 (рц, (а)) Ф 0. (19)
Подставим это значение а в (18); тогда получатся новые базисные элементы
ик = Рк (а) = 2 ЩРш (а), (20)
которые в силу (19) составляют линейно независимый базис поля 2 над А.
Применим к о1 = Р1(а) автоморфизм ок\ тогда в силу (16) получится, что
т. е. 1Д, ..., составляют некоторый нормальный базис поля 2 над полем А. Тем самым случай бесконечного поля А рассмотрен полностью.
Если Д является конечным полем из </ = рт элементов, то и 2 является конечным. Группа Галуа поля 2 над Д состоит тогда из степеней
1, о, о2 ап~1 (вп = 1)
236
ТЕОРИЙ ГАЛУА
(ГЛ. VIII
автоморфизма (Т, который определяется равенством
оа = аЧ
и оставляет элементы поля Д неподвижными. Нам нужно доказать, что в 2 существует такой элемент ?, что элементы
?, а?, с2?, ....
линейно независимы над Д. Тогда эти элементы будут составлять нормальный базис поля.
Идея доказательства та же, что и в доказательстве существования примитивного корня из единицы степени Л. Тогда мы рассматривали мультипликативную группу корней й-й степени из единицы; теперь же мы рассматриваем группу элементов поля 2. В качестве области мультипликаторов в данном случае возьмем кольцо многочленов Д[х]. Произведение многочлена
? = ? (х) = ’^1скхк на элемент ? из 2 определяется равенством
&?=&(<*)?=2с*а*-
Точно так же, как в случае мультипликативной группы, каждому элементу ? сопоставлялось целое число — порядок так теперь каждому ? мы сопоставим минимальный многочлен g, определенный как многочлен наименьшей степени со свойством §? = 0. В первом случае число § было делителем порядка группы й, а теперь минимальный многочлен ц является делителем многочлена хп— 1, который в силу равенства ол = 1 обращается в нуль на всех элементах ?. Так же, как раньше й разлагалось в произведение простых множителей <^, так теперь многочлен й (х) — хп — \ в кольце Д[х] разлагается на простые множители <7((х)- Так же, как раньше для каждого і существовало число а,-, у которого (й/<7і)-я степень была отлична от 1, так теперь существует элемент а;, который не является корнем многочлена й/<7;. Действительно, многочлен й/<^ = ?( имеет степень, не превосходящую числа п—1, а автоморфизмы 1, а, ...,оп~х линейно независимы; следовательно, существует элемент а;, который не является корнем многочлена gl (х) = с0~{-с%х+с„^х"*1. Умножим это щ на й/т,-, подобно тому, как раньше элемент а* возводился в (й/г;)-ю степень; у нас получится элемент 6^ минимальный многочлен которого — это в точности
