Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
группу. Следовательно, д—симметрическая группа.
С помощью установленных фактов можно построить уравнение произвольной степени с симметрической группой; основанием служит следующая теорема: транзитивная группа подстановок п-й степени, содержащая один двойной цикл и один (п—1 )-членный цикл, является симметрической.
Доказательство. Пусть (1 2 ... п — 1) —данный (п — 1)-членный цикл. Двойной цикл ((' /) в силу транзитивности можно перевести в цикл (к п), где к — один из символов от 1 до п—1. Трансформирование цикла (к п) с помощью цикла (1 2 ... п—1) и степеней последнего дает циклы (1 п), (2 л),..., (я—1л), а они порождают всю симметрическую группу.
Чтобы на основании этой теоремы построить уравнение я-й степени (л > 3) с симметрической группой, выберем сначала неразложимый по модулю 2 многочлен я-й степени Д, а затем многочлен Д, который по модулю 3 разлагается в произведение неразложимого многочлена (л—1)-й степени и линейного многочлена, и, наконец, выберем многочлен Д степени л, который по модулю 5 разлагается в произведение квадратного множителя и одного или двух множителей нечетных степеней (все они должны быть неразложимыми по модулю 5). Все это возможно, потому что по модулю любого простого числа существует неразложимый многочлен любой наперед заданной степени (§ 43, задача 6).
232
ТЕОРИЯ ГАЛУА
ЦЛ. VIII
В заключение выберем многочлен f так, чтобы выполнялись условия:
/ == fi (mod 2), f = f2 (mod 3), f = f3 (mod 5);
сделать это всегда возможно. Достаточно, например, положить
f 15^ + 10/, + 6/в-
Группа Галуа будет тогда транзитивной (так как многочлен неразложим по модулю 2) и будет содержать цикл типа (1 2 ... п — 1) и двойной цикл, умноженный на циклы нечетного порядка. Если это последнее произведение возвести в нечетную степень, подходящим образом подобранную, то получится чистый двойной цикл. Согласно приведенной выше теореме группа Галуа будет симметрической.
С помощью этого метода можно доказать не только существование уравнений с симметрической группой Галуа, но и нечто большее: именно, асимптотически все целочисленные уравнения, коэффициенты которых не превосходят границу N, стремящуюся к оэ, имеют симметрическую группу. См ван дер Варден (van der Waerden В. L.). — Math, Ann., 1931, 109, S 13.
Существуют ли уравнения с рациональными коэффициентами, группа Галуа которых является произвольно заданной группой подстановок, — нерешенная проблема; см. по этому поводу Нётер (Noether E.). Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe. — Math. Ann., 1917, 78, S. 221—229.
Задача 1. Какова группа Галуа уравнения
x4 + 2x2 + x + 3 = 0
над полем рациональных чисел?
Задача 2. Построить уравнение шестой степени, группа которого является симметрической.
§ 67. Нормальные базисы
Под нормальным базисом wu ..., wn расширения 2 поля А подразумевается такой базис, у которого элементы wk переставляются группой Галуа ©:
owk = Wi для каждого се®.
Можно доказать, что нормальный базис всегда существует. Доказательство, которое мы здесь приведем, следуя Артинуг), относится к случаю бесконечного основного поля Д. Случай конечного поля мы рассмотрим позднее.
Пусть а = ах — примитивный элемент и / (х) — минимальный многочлен для а:
2 = A (a), f (а) = 0.
В кольце 2 [л:] многочлен / (х) полностью разлагается на линейные множители:
f{x) = (x — а,) ... (х — а„). (1)
1) Ар тин (Artin Е,), Galois theory, —Notre Dame, 1944.
НОРМАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
233
Элементы Ст!, .... а„ группы С) переводят а в сопряженные
элементы аи а„, являющиеся попарно различными. При под-
ходящей перенумерации автоморфизов ак получаются равенства
ака = ак (й = 1, п). (2)
Построим кольцо классов вычетов кольца многочленов 2[х] по модулю многочлена / (х):
Я = 2Ш(х)).
Элементы кольца Я представляются многочленами с коэффициентами из 2 степени не выше, чем п — 1:
ё(х) = &о + ?1* + - • • + (3)
Константы gi, являющиеся классами вычетов, как обычно, будут отождествляться с элементами поля 2. Класс вычетов, который представляет переменная х, обозначим через р. Тогда класс вычетов, который представляет многочлен g (х), имеет вид
? (Р) = Е ?*Р* = Е с««'р*. (4)
к 1, И
где все г и & пробегают значения от 0 до /г — 1.
В кольце классов вычетов Я лежат два изоморфных подполя 2=А(а) и 2' = Л(р). Каждый элемент из Я согласно (4) однозначно представляется в виде суммы произведений а‘$к, составленных из базисных элементов а1 поля 2 и базисных элементов р* поля 2', с коэффициентами из А. Кольцо Я называется прямым произведением алгебр 2 и 2' над Л и обозначается через
Я = 2х2'.
Покажем, что Я представляется как прямая сумма п изоморфных полей Къ ..., Кп.
Согласно интерполяционной формуле Лагранжа каждый многочлен g(x) из 2 [х] степени, не большей п — 1, представляется с помощью п значений ?(«!), ..., g{an) в виде
г (*) = ЕР*(*) ?(«*)• (5)
При этом Рк(х) является многочленом из 2 [х], который в точке ак принимает значение 1, а в остальных точках а( равен нулю:
Ри (*) =
Y[ (а* - «г)]1 П (х'
i фк J i фк
? а,). (6)
Если опять перейти к классам вычетов по модулю f (х), то из (5) получится
