Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. После присоединения всех корней многочлен F, а потому и многочлен /4 разлагаются на линейные множители вида г — 2 uvav, коэффициентами которых служат корни av, расположенные в некотором порядке. Перенумеруем корни так, чтобы /д содержал множитель г — («х«х +... ...-\-ипап). В последующем символ su будет обозначать подстановку символов и, а sa —такую же подстановку символов а. Очевидно, что в таких обозначениях подстановка susa оставляет выражение б = +... + ипап инва-
риантным, т. е.
s„sa0 = 0,
Если подстановка ви принадлежит группе д, т. е. оставляет инвариантным многочлен Дх, то ви переводит каждый множитель многочлена /ц, в частности г —0, вновь в некоторый линейный множитель многочлена /ц- Обратно, если
230
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ. VIII
некоторая подстановка переводит множитель г — 0 в другой линейный множитель многочлена /и, то она переводит /и в некоторый неразложимый в кольце Д [и, г] многочлен, являющийся делителем многочлена Г (г, и), т. е. в один из многочленов Гу и притом в такой, у которого есть общий линейный множитель с /71; это означает, что /и переводится в себя. Следовательно, подстановка принадлежит группе 3. Таким образом, группа д состоит из подстановок символов и, которые переводят г — 0 в линейный множитель многочлена ?х.
Подстановки ва из группы Галуа многочлена /(х)— это такие подстановки символов а, которые переводят выражение
6 = и-хЩ + ...-)- и„ап
в сопряженные с ним и для которых, следовательно, элемент %0 удовлетворяет тому же неразложимому уравнению, что и б, т. е. это такие подстановки ва, которые переводят линейный множитель 2— 6 в другой линейный множитель многочлена Рг- Так как 5а6=‘^~'д, то подстановка также переводит линейный множитель 2 — 0 в линейный множитель многочлена /?1, т. е. 5“1, а потому и эц, принадлежит группе д. Верно и обратное утверждение. Следовательно, группа Галуа состоит из тех и только тех подстановок, которые входят в группу д, нужно только символы а заменить на символы и.
Этот метод определения группы Галуа интересен не столько практически, сколько теоретически; из него получается чисто теоретическое следствие, которое звучит так:
Пусть 9! — целостное кольцо с единицей, в котором имеет место теорема об однозначном разложении на простые множители. Пусть р — простой идеал в Ш и Ы = —кольцо классов вычетов. Пусть А и А— поля чистных колец 91 и 9(. Наконец, пусть / (х) = х'!-|-...— многочлен из 9( [х], а [(х) получается из [ (х) при гомоморфизме Ш -*!)(, причем оба многочлена не имеют кратных корней. Тогда группа д уравнения / = 0 над полем А (как группа подстановок подходящим образом перенумерованных корней) является подгруппой группы д уравнения / = 0.
Доказательство Разложение многочлена
Г (2, и) = 11 (2—э„0)
$
на неразложимые множители Га Г* в кольце Д [г, и], согласно § 30,
осуществляется уже В 9( [2, и], и поэтому его можно перенести с помощью естественного гомоморфизма на 9! [г, и]:
Р(г, и) = Рх-Рг •...•/>
Множители Рх возможно, окажутся разложимыми дальше. Подстановки из группы д переводят /г1, а потому и Рг в себя, а остальные подстановки символов и переводят Рх в Р2 Рь. Подстановки из группы д переводят любой неразложимый множитель многочлена Рх в себя; поэтому они не
могут переводить Рх в Р% Г*: обязательно Рх переводится в себя, т. е.
д — некоторая подгруппа группы д.
Эта теорема часто используется для нахождения группы д. При этом идеал р выбирают так, чтобы многочлен / (х) был разложим по модулю р, потому что тогда легче определить группу д уравнения /. Пусть, например, 91 — кольцо целых чисел и г = (р)> где р — простое число Тогда по модулю р многочлен /(х) представляется в виде
/ М = фг (х) фа (х) Фл М (Р).
§66]
ВЫЧИСЛЕНИЙ ГРУППЫ ГАЛУА
Следовательно,
/^ = Ф1Ф2 Фл-
Группа д многочлена ] (х) циклична, так как группа автоморфизмов поля Галуа обязательно циклична (§ 43). Пусть в — подстановка, порождающая группу д и представляющаяся в виде циклов следующим образом:
(1 2 ... /)(/+1 ...) ...
Так как области транзитивности группы д соответствуют неразложимым множителям многочлена /, то символы, входящие в циклы (1 2 ... /), (...), ..., должны находиться в точном соответствии с корнями многочленов фх ф2, ... Как только оказываются известными степенями /, к, ... многочленов в, оказывается известным и тип подстановки: подстановка состоит тогда из одного /-членного цикла, одного к-членного цикла и т. д. Так как в соответствии с приведенной выше теоремой при подходящей нумерации корней группа д оказывается подгруппой группы д, группа д должна содержать подстановку такого же типа.
Так, например, если целочисленные уравнения пятой степени по модулю какого-либо простого числа распадается в произведение неразложимого множителя второй степени и неразложимого множителя третьей степени, то группа Галуа обязана содержать подстановку типа (1 2) (3 4 5).
Пример. Пусть дано целочисленное уравнение
хь — х— 1 =0.
По модулю 2 левая часть разлагается в произведение (х2 +х+1) (х3-\-х2-{- 1),
а по модулю 3 она неразложима, потому что иначе у нее был бы множитель первой или второй степени, а потому и общий множитель с х9 — х (§ 43, задача 6); последнее означает наличие общего множителя либо с хь — х, либо с х5 + х, что, очевидно, невозможно. Тем самым группа заданного уравнения содержит один пятичленный цикл и произведение (! к) (I т п). Третья степень последней подстановки равна (г &), а эта последняя, трансформированная с помощью подстановки (1 2 3 4 5) и ее степеней, дает цепь транспозиций (1 к), р), (р р), (ц г), (г !), которые все вместе порождают симметрическую
