Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ
227
Применим теперь эти общие теоремы к нескольким классическим задачам.
Индийская задача об удвоении куба1) приводит к кубическому уравнению
х — 2,
которое согласно критерию Эйзенштейна неразложимо; поэтому каждый корень этого уравнения порождает расширение третьей степени. Но всякое такое расширение не может быть подполем поля степени 2т. Следовательно, задача об удвоении куба не решается с помощью циркуля и линейки.
Задача о трисекции угла приводит, как мы видели, к уравнению
4х3 — Зх — а = О,
где а —переменная величина. Неразложимость такого уравнения над полем рациональных функций от а доказать легко: если бы левая часть имела рационально зависящий от а множитель, то у нее был бы множитель, целочисленно зависящий от а; но линейный многочлен от а, коэффициенты которого не имеют общего делителя, очевидно, неразложим. Отсюда, как и выше, получается, что трисекция угла неосуществима с помощью циркуля и линейки.
Алгебраически более удобная форма уравнения трисекции угла получается, когда к полю рациональных функций от а = — cos Зср присоединяется величина
i sin Зср = У — (1 — cos2 Зф)
и уравнение записывается для
у — COS ф-ft вШф.
Именно:
(cos ф + i sin ф)3 = cos Зф + i sin Зф,
или, короче
У3 =(5.
То, что трисекция угла Зф может быть сведена к этому двучленному уравнению, легко следует и из геометрической интерпретации комплексных чисел.
Квадратура круга приводит к построению числа л. Ее невозможность будет установлена, если показать, что число л не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению, т. е. является трансцендентным. Действительно, тогда л не может лежать ни
х) Историю этой задачи мы знаем благодаря комментариям Архимеда по поводу выводов Евтокия. См. ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука.-М.: Физматгиз, 1959, с. 190, 194, 209-211, 221-224, 317-318, 324 — 325.
228 ТЕОРИЯ ГАЛУА [ГЛ. VIII
в каком конечном расширении поля рациональных чисел. Соответствующее доказательство, которое не относится к алгебре, см., например, в книге: Гессенберг (Hessenberg G.). Transzendenz von e und я.
Построение правильного многоугольника, вписанного в заданную окружность, в случае h углов приводит к числу
2cos -^ = &-К-1,
2 nl
где t, — е h —примитивный корень h-й степени из единицы. Так как этот элемент переходит в себя лишь при подстановках ?*—»• ? и ?t—»?'1 из группы Галуа поля деления круга, он порождает
ф Ф)
некоторое вещественное подполе степени ; тем самым мы
ф ф)
получаем условие для возможности построения этого числа: ,
а также ф(h) должны быть степенями двойки. Пусть h — 2vqvl1 ... ... qv/ (qt — нечетные числа); тогда
Ф (h) = 2v-1q}~1 ... tf'-'fo-l) ... (qr~ 1). (2)
(В случае v = 0 первый множитель 2V~1 выпадает.) Условие, следовательно, состоит в том, чтобы нечетные простые делители входили В h ЛИШЬ В первой степени (V;=l) и, кроме того, чтобы каждый нечетный простой делитель <7; после вычитания единицы, т. е. число <7, —1, оказывалось степенью двойки, т. е. чтобы выполнялось соотношение
?, = 2* + 1.
Каковы же простые числа такого вида?
Число k не может делиться на нечетное ЧИСЛО р>1, потому что из
k = pv, р нечетное, р > 1,
следовало бы, что (2v)li+l делится на 2v-j-l и, таким образом, не является простым.
Следовательно, должно иметь место равенство вида k = 2V и
<7/ = 2a4l.
Значения >. = 0, 1, 2, 3, 4 действительно задают простые числа <7,-, а именно:
3, 5, 17, 257, 65 537.
Для ?, = 5 и нескольких больших X (как далеко, неизвестно) число 22>"+1 не является простым; например, 22"1 -f-1 имее1 делитель 641.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУППЫ ГАЛУА
229
Таким образом, каждый правильный /г-угольник, где h, кроме степени двойки, содержит лишь указанные простые множители 3, 5, 17, ... не выше, чем в первой степени, можно построить с помощью циркуля и линейки (Гаусс). Пример 17-угольника был рассмотрен нами еще в § 60. Известны построения 3-, 4-, 5-, 6-, 8- и 10-угольников. Правильные 7- и 9-угольники уже не могут быть построены с помощью циркуля и линейки, потому что они приводят к кубическому подполю в полях деления круга 6-й степени.
Задача. Показать, что кубическое уравнение
X^ рх —j— Q ==z О
в неприводимом случае приводится с помощью подстановки x = fU' к уравнениям типа уравнения трисекции (1), и вывести отсюда формулу решения кубического уравнения в терминах тригонометрических функций.
§ 66. Вычисление группы Галуа.
Уравнения с симметрической группой
Один из методов, с помощью которого можно построить группу Галуа уравнения f(x)= 0 над полем Д, состоит в следующем.
Пусть ах, .,.,ая — корни уравнения. Построим с помощью переменных «х ип выражение
0 = «x<Xx + ип ап;
применим к нему всевозможные подстановки su переменных и составим произведение
F (г, и) = Д (2-s„0).
S
Очевидно, это произведение является симметрической функцией корней и поэтому, согласно § 33, может быть выражено через коэффициенты многочлена 1(х). Разложим многочлен F (г, и) на неразложимые множители в кольце А [и г]:
F (г, u) = Fl(z, u)F2(z, и) ... Fr(z, и).
Постановки s„, которые переводят в себя некоторый сомножитель, скажем, сомножитель Ft, составляют группу д. Мы утверждаем, что группа %—это в точности группа Галуа заданного уравнения.
