Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
А с А (УО) а А] с= Л2 с; 1>.
По-прежнему будет считаться, что характеристика поля А отлична от 2 и 3. Как мы увидим, развернутое выражение для дискриминанта нам не потребуется. Поле Л4 порождается над полем А {У О) таким элементом, который выдерживает подстановки из
222 ТЕОРИЯ ГАЛУА [ГЛ VIII
’В4, но не из 314. Вот один из таких элементов:
®1 = (*1 + *2) (*3 + *,)'
Заметим, кстати, что указанный элемент выдерживает не только подстановки из 334, но и подстановки
(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)
(которые вместе с 334 составляют группу порядка 8). Над полем Д элемент 0 имеет три различных сопряженных элемента, в которые он переводится подстановками из @4:
©1 = (*1 + *г) (*з + *4).
0-2 = (*1 + *з) (Х2 *4)»
®.) = {Х\ + Х4) (*2 + *з)'
Эти элементы являются корнями уравнения третьей степени: 03 — + — 63 = 0, ,6) где ^ — элементарные симметрические функции от 04, 02, 03:
Ь4 = ©1 + ©2 + ®з = 2 2 *1*2 — 2р,
Ь2 = У] 0102 = 2 + 3 2 *5*2*3 + 6Х1Х2ХЯХ4,
Ь3 = 0,02©;, = 2 *'*1*3 + 2 2 Х1Х2Х3Х4 + 2 2 *'*1*3 + 4 2 *1*1*,*4-
Элементы Ь2 и Ь3 можно выразить через элементарные симметрические функции а4, ог, ст3, сг4 элементов С помощью метода из § 33 получаем:
о1 = 2 *?*! + 2 2 *1*2*3 + бхгх2хах4 = р2,
а1°г = 'Ел *'*2*з + 4х1х2х3х4 = О,
— 4а4 = — 4х1х2х3х4 = — 4 г
Ь2 = Е *1*1 + 3 Е *1*2*3 + 6*1*а*з*4 = р2 - 4г\
ЩСТЩз = 2 *1*“*з + 3 2 *1*2*з*4 + 3 Е *1*1*3 + 3 2 *1*!*з*4 = о,
— 0104 — — ^2 *1*'2*3*4 2 ^ 1 -^1*2*3*4 ”
- 0*3 = - 2 *1*1*3 - 2 2 *1*1*3*4 =—<?2
Ь3=Е *1*1*3 + 2 2 *1*2*3*4 + 2 2 *1*1*3 + 4 2 *1*1*8*4 = — Я2-Тем самым уравнение (6) приводится к виду
©3-2р®2 + (р2-4г) 0 + ^ = 0. (7)
Это уравнение называется кубической резольвентой уравнения четвертой степени; корни 0ц 0г, 03 этой резольвенты по формулам
§ 64] УРАВНЕНИЯ 2-й. 3-Й И 4 Й СТЕПЕНЕЙ 223
Кардано могут быть выражены через радикалы. Каждый отдельный корень 0 выдерживает группу из восьми названных выше подстановок, а все три корня выдерживают лишь группу 234 и поэтому
К (©!, 02, 03) = А1.
Поле Л2 получается из поля Л4 присоединением элемента, который выдерживает не все четыре подстановки из ?34, а только подстановки единичную и (например) (12) (34). Одним из таких элементов является х4-\-х2. Имеем
{х1 х2) (х3 х4) = 01 и (х1 + х2) + (л;3 + х4) = (),
откуда получается, например, что
-И+ *2 = V -©б х3 + х4 = — У— В4.
Точно так же:
Х4-^Х3 = У— Х2-\-Х4 =— У — 02;
А'1-Н Х4 = К-03; х2 + х3 = ~У в3.
Эти три иррациональности не являются независимыми, так как
V - <=>! V - ©2 У - 03 = (*1 + Х2) (х4 + Х3) (х1 + Х4) =
= х{ + х\ {х2 + х3 + х4) + х4х2х3 + х4х2х4 + Х4Х3Х4 + Х2Х3Х4 =
= х\ (х4 + х2 + х3 + х4) + 2 х4х2х3 = 2] хгх2х3 = — <7-
Поскольку 534 имеет порядок 4 и обладает подгруппой порядка 2, двух квадратичных иррациональностей достаточно, чтобы спуститься от 234 к (? или, что то же, подняться от поля Л к полю
2. Действительно, корни 0 рационально определяются через три элемента х,- (которые зависят уже от любых двух среди них); в самом деле, ведь
2х, = У=в[ + уГГё2 + \Г^ва, 2х,=У-в1-У —02—V —03,
2х3 = У — 04 + У — 02 — У — 03,
2х4 = - у~=в; - у^в2+у~=ва.
Это —формулы решения общего уравнения четвертой степени. Они сохраняют силу и для любого конкретного уравнения четвертой степени.
Замечание. Так как
01 - 02 = — (Хг - х4) (х2 - хя),
©1 - <=>з = — (х, - х3) (х2 - х4),
02 - 03 = — (*1 - Х2) (х3 - Х4),
224
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ. VIII
то дискриминант кубической резольвенты равен дискриминанту исходного уравнения. Это дает простое средство вычисления дискриминанта уравнения четвертой степени, поскольку вся информация о кубическом уравнении у нас уже есть. Имеем
П = 16р4г - 4р*цг - 128рЬг + 144р?72г - 27+ 256г3.
Задача 1. Группа кубической резольвенты конкретного уравнения четвертой степени является факторгруппой группы исходного уравнения по ее пересечению С четверной Группой 4*4-
Задача 2. Определить группу уравнения
х* + ха + х+1=0.
(См. задачу 3 из § 57 и предыдущую задачу 1.)
§ 65. Построения с помощью циркуля и линейки
Обратимся к рассмотрению следующего вопроса: когда геометрическая задача на построение решается с помощью циркуля и линейки *)?
Пусть даны образы элементарной геометрии (точки, прямые или окружности). Задача состоит в том, чтобы с их помощью построить другие образы, подчиненные каким-либо известным условиям.
Присоединим к заданным образам декартову систему координат. Тогда все данные образы можно будет представлять с помощью пар чисел (координат) и то же самое верно относительно конструируемых объектов. Если удастся построить (как отрезки) числа, представляющие последние объекты, то задача окажется решенной. Тем самым все сводится к построению одних отрезков по другим, уже заданным. Пусть а, Ь, ... — заданные отрезки, а х — искомый отрезок.
Прежде всего мы можем дать некоторое достаточное условие построения искомого отрезка:
Если решение х некоторой задачи вещественно и может быть вычислено с помощью рациональных операций и извлечений (не обязательно вещественных) квадратных корней из заданных отрезков а, Ь, ..то отрезок х можно построить с помощью циркуля и линейки.
