Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Р = -^ + |К:гЗ, Р2 = -у-(1)
и затем рассмотрим резольвенты Лагранжа
(I, х1) = х1 + х2 + х3 = Ъ,
(р, лг^^ + рхз + р2^. (2)
(р2, х1)=л:1 + р2х2 + рх3.
Третья степень любого из этих элементов должна рационально выражаться через У—3 и УЪ. Имеем
(р> -'Т)3 = Х1 ~Ь У Ч- хз 4~ Зрлулу -)- Зрх2х3 Зр.1ф4 -Т 4- Зр^^з + 3/хях1 -Т Зр2л:3л:] + %х^2х3,
и соответствующим образом получается (р2, лу)3 при замене р на р2. Подставим сюда равенства (1) и заметим, что
У ?> = (лу - л-2) (лу - хя) (лу - х3) =
= Х]Х2 + х'1х3 4- х\хх — хгх2 — х2х1 - - х3х\\
тогда
(р, хУ = ^х\ -у ^ х*х2 + блулулу, 4-1 У— 3 V П.
Встречающиеся в рассмотренных выражениях симметрические функции согласно § 33 легко выражаются через элементарные симметрические функции оу, а2, а3, а потому и через коэффициенты нашего уравнения. Имеем:
&1 = 2 х\ 4- 3 ^ х\х2 4- 6ххх2х3 = 0, так как = 0;
9 9 V . 27
^ х\хг —2~ х1х2хз — 0» так как а1 — 0;
— 2 - — 2
27 27 _ 27
2 ст3 — 2 Х1Х2Х3 — 2 У’
2*5-4 2 +бл:1*2хз=—\ц\
поэтому
(Р. = о-У^КО,
220
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ. VIII
и точно так же
(р2, х,Г = - -у- ? - Т У-ЪУП-
Кубические иррациональности (р, лу) и (р2, хх) не являются независимыми, именно:
(р, Х\) (р2, х1) = х'1 + х1 + х1 +
+ (р + Р2) хгхг + (р + р2) *1*3 + (р + Р2) *2*3 =
= х\ + х\ + х\ — хгх2 — хгх3 —- Х2Х3 = в\ — Зо2 = — 3 р.
Таким образом, кубические корни (Р. =
3/---27-------Г-= (3)
(Р2- Х0 = у --2 ц- 2 V- 30
следует определить так, чтобы было выполнено равенство
(р, х1)(р2, л’1)= — Зр. (4)
Чтобы вычислить корни хъ х2, х3, умножим уравнения (2) последовательно на 1, 1, 1, соответственно на 1, р2, р и 1, р, р2, а затем сложим результаты. Тогда получатся равенства:
3*1 = 2 (?. *1) = (Р. *1) + (р2, ху
?
3*2 = 2 ?'1 (Е, *1) = Р2 (Р, *1) + р (р2. *1), (5)
?
З*3 = 2?'2(?> Х1) = Р(Р> Х1) + Р2(Р2. х1>-
?
Формулы (3), (4), (5) — это формулы Кардано. Они сохраняют силу не только в случае «общего», но и в случае любого частного кубического уравнения.
О вещественности корней. Если основное поле, содержащее коэффициенты р, 9 является полем вещественных чисел К, то возможны два случая.
а) Уравнение имеет один вещественный и два комплексно сопряженных корня. Очевидно, тогда произведение (Х1—Х2)(Х1 — Х3)(Х2—Х3) является чисто мнимым числом, так что О < 0. Величины —30 вещественны и в (3) можно В качестве (р, А']) взять третий вещественный корень. В силу (4) элемент (р2, хг) будет тогда тоже вещественным, и первая из формул (5) представляет Зхг как сумму двух вещественных кубических корней, в то время как хг и х3 представляются как комплексно сопряженные числа.
б) Уравнение имеет три вещественных корня. В этом случае У О —вещественное число и 0^0. В случае 0 = 0 (два одинаковых корня) рассуждения дословно повторяют предыдущие; в случае О > 0 элементы под знаками кубических корней в (3) будут мнимыми и, следовательно, получаются три (вещественных) выражения (5) в виде сумм м Я и м ы х кубических корней, т. е. выражения не в вещественном виде.
УРАВНЕНИЯ 2 А. 3 Я И 4 Я СТЕПЕНЕЙ
221
Это так называемый «неприводимый случай» кубического уравнения. Покажем, что в такой ситуации действительно невозможно решить уравнение
х3 + рх + <7 = О
с помощью вещественных радикалов, если только оно не разлагается уже в основном поле К.
Итак, пусть уравнение х3-\-рх-\-д — О неразложимо над К и имеет три вещественных корня X), х2, х3. Присоединим сначала |/ О. При этом уравнение не разлагается (потому что поле К (|К В), являющееся, самое большее, квадратичным, не может содержать корней неразложимого кубического уравнения) и его группой будет группа ?13. Если бы оказалось возможным добиться разложения с помощью ряда прис(единений вещественных радикалов, показатели которых можно, конечно, считать простыми числами, то среди этих присоединений нашлось бы критическое присоединение -/ а (Л —простое число), как раз
Ь Г
и вызывающее разложение, в то время как до присоединения корня у а, ска-жем, в поле Л уравнение неразложимо. Согласно § 61 либо многочлен — а неразложим в Л, либо а является Л-й степенью некоторого элемента поля Л. Последний случай отпадает, пототу что тогда вещественный корень Л-й степени из о имелся бы уке в Л и его присоединение не могло бы дать разложения
уравнения Следовательно, многочлен хЛ — а неразложим и степень поля л(У а)
равна в точности Л. В поле Л (д/а), согласно предположению, содержится корень неразложимого над Л уравнения х3 + рх + ^ = 0; следовательно, число Л делится на 3, а потому Л = 3 и Л (]/ а) = Л(х!) Степень поля разложения Л (х1, х2, х3) над Л также равна 3 и, следовательно, Л (У а) = А(х 1, х2, х3). Будучи нормальным, поле Л (У~а) должно вместе с У а содержать и сопряженные элементы р У а и р2 \Г а, а потому и корни из единицы р и р2. Таким образом, мы пришли к противоречию: ведь поле Л (У а) вещественно, а число р — нет.
Общее уравнение четвертой степени
г4 + аггг -+- а2г2 + а3г + a^ = 0 с помощью подстановки
г = х--4 а!
может быть также преобразовано к виду
хЬ + рх^ + х + г^-О.
Композиционному ряду
@4 дэ 214 =5 234 =э Зг @ соответствует ряд полей:
