Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 86

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 247 >> Следующая

К с: А, с Л2 с:... с Л(0,
(2)
© зэ ©1 зэ ©а • • • зз> ©и =
(3)
214
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ VIII
и каждая из этих подгрупп является нормальной в предыдущей, причем факторгруппы являются циклическими группами простых порядков. Это означает, что группа © разрешима и (3) —ее композиционный ряд.
Полю 2 соответствует некоторая подгруппа ф, нормальная в ©; согласно § 51 мы можем построить композиционный ряд, проходящий через Т), композиционные факторы которого с точностью до изоморфизма будут теми же, что и у ряда (3), но, возможно, расположенными в другом порядке:
© до 4?! =з до ... ... гэ (?. (4)
Группа Галуа поля 2 над полем К —это группа @/Т>; для нее мы имеем композиционный ряд
@Д§ гэ Тц/ф до =о ... до ф/ф = (?,
факторы которого согласно второй теореме об изоморфизме (§ 50) изоморфны соответствующим факторам ряда (4), а потому снова цикличны и простых порядков. Утверждение 1 доказано.
Для утверждения 2 мы докажем сначала следующую лемму:
Лемма. Корни ц-й степени из единицы (<7 — простое число) представимы ^неразложимыми радикалами» (т. е. корнями неразложимых уравнений хр — а = 0), если считать, что характеристика поля К равна нулю или больше числа <7.
Так как утверждение тривиально для случая <7 = 2 (корни второй степени из единицы рациональны — это числа ±1), мы можем считать, что лемма доказана для всех простых чисел, меньших у. Поле корней ц-й степени из единицы циклично в соответствии с § 60, и его степень является делителем числа <7 — 1. Если, таким образом, разложить <7 — 1 на простые множители: <7—1 = ... /А, то указанное поле можно построить с помощью
последовательных циклических расширений степеней ру. Присоединим корни рг-й, р2-й, ..., рг-й степеней из единицы; согласно предположению индукции они представляются неразложимыми радикалами. После этого мы можем применить теорему из § 61 к циклическим расширениям степеней рх, утверждающую представимость в радикалах последовательных образующих элементов полей. Участвующие в рассмотрениях уравнения хРх — а = 0 должны быть неразложимыми, потому что в противном случае числа ру не могли бы быть степенями соответствующих полей.
Теперь мы можем доказать утверждение 2. Пусть 2 — поле разложения многочлена / (х) и © гэ ©11э ... гэ ©, = (? — композиционный ряд группы Галуа поля 2 над полем К. Этому ряду групп соответствует ряд полей:
КсЛ)С ... с Л/= 2,
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ п-й СТЕПЕНИ
215
в котором каждое поле — нормальное циклическое расширение предшествующего. Если <71( <72, ... — относительные степени этих полей, то сначала мы присоединяем к К корни из единицы степени затем — степени <72 и т. д., что согласно лемме возможно сделать присоединением неразложимых радикалов. Согласно теореме из § 61 порождающие элементы полей А1( Л2, ..., А, можно выразить через радикалы, причем всякий раз очередное уравнение х9^ — а — 0 будет или неразложимым или полностью разлагающимся (§ 61, конец). В последнем случае присоединение радикала излишне. Тем самым доказано и утверждение 2.
То, что утверждение 2 оказывается неверным, когда одна из степеней ^ равна характеристике поля р, показывает следующий пример: «общее уравнение второй степени» х2ш: + у = 0 (и, V — переменные, присоединенные к простому полю характеристики 2) неразложимо и сепарабельно и остается неразложимым при присоединении всех корней из единицы. Присоединение корня неразложимого двучленного уравнения нечетной степени не может привести к разложению рассматриваемого уравнения, так как такое присоединение порождает поле нечетной степени. Но и присоединение квадратного корня не дает разложения уравнения, потому что при этом не меняется редуцированная степень поля. Следовательно, уравнение ни одним способом не решается в радикалах.
Применение. Симметрические группы второй, третьей и четвертой степеней (и их подгруппы) разрешимы; этим объясняется возможность получения формул решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней (вывод дается в § 64). Симметрические группы пятой и более высоких степеней разрешимыми не являются (§ 55) и, как мы скоро увидим, для каждой степени существует уравнение, группа которого есть симметрическая группа этой степени. Следовательно, не существует общей формулы решения для уравнений пятой и более высоких степеней. Лишь частные виды таких уравнений (например, уравнение деления круга) могут быть решены в радикалах.
§ 63. Общее уравнение п-й степени
Под общим уравнением п-й степени понимается уравнение
гп - щг’1-1 + щгп~2 - ... +(— 1)пил = 0 (1)
с неопределенными коэффициентами иъ ..., ип, которые присоединяются к основному полю К. Если ..., — корни этого урав-
нения, то
«1 = ^ + ... +
«2 = + ^1^3 + • • • + V,, щп,
и„ =
216
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ. VIII
Сравним общее уравнение (4) с другим уравнением, корни хъ ..., хп которого являются неопределенными величинами и коэффициенты которого выражаются просто как элементарные симметрические функции этих величин:
гп — в1гп~1-\- сг2гл~2 — ... + (— 1 )поп =
= (г - хг) (г - х2) ... (г - хп) = 0; (2)
а1 ~Х1 + • • •
о2 = хгх2 + хгх3 + ... + хп~\Хп,
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed