Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 62. Решение уравнений в радикалах
Известно, что корни уравнений второй, третьей и четвертой степеней выражаются через коэффициенты этих уравнений с помощью рациональных операций и извлечения корней У , У ,... («радикалов») (ср. § 64). Поставим теперь вопрос: какие вообще уравнения обладают тем свойством, что их корни выражаются через элементы основного поля К с помощью рациональных операций и радикалов? При этом мы можем, конечно, ограничиться неразложимыми уравнениями с коэффициентами из К. Задача состоит в том, чтобы последовательным присоединением элементов вида У а (где а принадлежит уже построенному полю) построить над К поле, которое содержит один или все корни заданного уравнения.
212 теория галуа [гл viii
Такая постановка вопроса является, однако, неточной в следующем отношении. Корень у , вообще говоря, является многозначной функцией в поле и возникает вопрос, какое именно из
значений следует понимать под у а. Например, если выразить через радикалы примитивный корень шестой степени из единицы, то представление уr 1 или даже 1 будет неудовлетворительным, в то время как представление ?= —3 намного удовле-
творительнее, так как выражение ydbyj/'—3 при любом выборе значений корня V—3 (т. е. выборе решения уравнения л:2 + 3 = 0) дает оба примитивных корня шестой степени из единицы.
Важнейший вывод, который можно сделать из этого наблюдения, состоит в следующем: нужно, чтобы, во-первых, все решения рассматриваемых уравнений представились в виде
V.. .у~.+у~.+.(1)
(или аналогичном) и, во-вторых, эти выражения при любом выборе входящих в них радикалов представляли решения рассматриваемого уравнения. (Конечно, имеется ввиду, что если
радикал у^а входит в выражение (1) несколько раз, то ему всюду придается одно и то же значение.)
Предположим, что первое требование выполнено. Тогда будет выполнено и второе, если позаботиться о том, чтобы при последовательном присоединении радикалов всякий раз уравнение хп — а — 0 было неразложимым. Действительно, тогда все возможные значения функции уга будут сопряженными и, следовательно, могут переводиться друг в друга изоморфизмами; эти изоморфизмы при всех последующих присоединениях можно продолжать до изоморфизмов очередного расширения (ср. § 41). Следовательно, если при некотором выборе значения радикала ^/~а выражение (1) дает корень рассматриваемого уравнения, то и при любом другом значении этого радикала упомянутое выражение вновь дает корень уравнения, потому что любой изоморфизм переводит корни многочлена из К [х] в корни этого же многочлена.
После этих предварительных замечаний мы можем сформулировать основную теорему об уравнениях, разрешимых в радикалах:
1. Если какой-либо корень неразложимого в К уравнения f(x) = 0 представляется в виде (1) и если показатели радикалов в этом выражении не делятся на характеристику поля К, то группа Галуа данного уравнения разрешима. 2. Обратно, если
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ
213
группа Галуа уравнения разрешима, то все корни уравнения представляются в виде (1); при этом показатели последовательно присоединяемых радикалов будут простыми числами, а соответствующие уравнения хп — а = 0 неразложимы. Предполагается, что характеристика поля К равна нулю или превосходит наибольшее простое число, содержащееся среди порядков композиционных факторов :).
Эта теорема, по существу, утверждает, что для решения вопроса о разрешимости уравнения в радикалах достаточно решить вопрос о разрешимости группы. В действительности, теорема утверждает нечто большее, потому что в первой ее части понятие разрешимости в радикалах сформулировано в наиболее слабом виде, а во второй — в наиболее сильном.
Доказательство. 1. Прежде всего мы можем считать показатели корней простыми числами, воспользовавшись тем, что
Присоединим к полю К корни из единицы степени рь степени р2 и т. д., где ри р2,— простые числа, входящие в показатели корней, участвующих в (1). В результате получится серия циклических нормальных расширений, которые мы можем считать разложенными на расширения простых степеней. Когда указанные корни из единицы будут присоединены, присоединение каждого согласно § 61, либо не даст никакого расширения, либо даст циклическое расширение степени р. Следовательно, вместе с уГ~а к полю присоединяются все сопряженные с этим корнем р-й степени из а элементы; поскольку так получаются лишь циклические расширения простой степени, в итоге получается нормальное над Н поле. Таким образом, в конце концов мы придем к ряду циклических расширений
которая приводит к нормальному расширению АМ = Й, содержащему корень (I) многочлена ((х). Так как О —нормальное расширение, оно содержит все корни многочлена / (х), т. е. содержит поле разложения 2 многочлена / (х).
Пусть © — группа Галуа расширения Й над К. Тогда ряду полей (2) соответствует ряд подгрупп группы ©:
1) Если допустить, чтобы в формулу решения входили, кроме радикалов описанного вида, корни из единицы, то последнее условие можно ослабить потребовав, чтобы среди порядков композиционных факторов не было характеристики поля К.
