Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 84

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 247 >> Следующая

Пусть К—основное поле, содержащее корни п-й степени из единицы, в котором «-кратное единичного элемента не равно нулю (т. е. п не делится на характеристику). Тогда: группа Га-луа «двучленного» уравнения
хп —? а — 0 (а Ф 0)
над И циклично.
Доказательство. Если 9 —корень уравнения, то ?6, ?2б, ..., ?" г0 (где ? — примитивный корень п-й степени из единицы) — остальные корни этого уравнения1). Поэтому 0 порождает поле корней и любая подстановка из группы Галуа имеет вид
0 Н-* ^б.
Последовательное применение двух подстановок 0 >—*? ?1'0 и
01—? ?^0 дает 0 1—*-?л+'б. Следовательно, каждой подстановке соответствует некоторый вполне определенный корень из единицы а произведению подстановок — произведение корней из единицы. Поэтому группа Галуа изоморфна некоторой подгруппе группы корней л-й степени из единицы. Так как последняя группа цик-лична, то любая подгруппа в ней тоже циклична и, следовательно, циклична сама группа Галуа.
Если, в частности, уравнение хп — а = 0 неразложимо, то корни ?'’0 сопряжены с 0 и группа Галуа изоморфна полной группе корней л-й степени из единицы. В этом случае ее порядок равен п.
Теперь мы хотим показать, что, наоборот, каждое циклическое поле л-й степени над К порождается корнями двучленного уравнения хп — а = 0.
Пусть 2 — циклическое поле степени п и пусть о — порождающая подстановка из группы Галуа, т. е. оп = 1. Предположим опя1ь, что основное поле К содержит корни л-й степени из единицы.
т) Очевидно, все эти корни различны, так что уравнение сепарабельно
210
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ VIII
Пусть ? —примитивный корень п-й степени из единицы в поте К. Для каждого элемента а из 2 составим резольвенту Лагранжа
(?, а) = сг + + ?,2»’'2« + • • ? + ’’а. (1)
Согласно теореме о независимости из § 54 автоморфизмы 1, о, о2, ап1 линейно независимы; поэтому элемент а можно выбрать в 2 так, чтобы было (С, а)ф0. Автоморфизм о переводит (С, а) в
а(?, а) = ста -ф ?сг2а-|-. ? • + С"”1« =
= ?-1(?аа + ?2а2а-ф... + а) = ?-1(?, «)• (2)
Поэтому п-я степень (?, а)" остается неизменной под действием подстановки о, т. е. (С, а)" принадлежит основному полю К.
Из (2) повторением описанного рассуждения получается равенство
ffv(?, °0 = ?-V(?, «).
Единственная подстановка из группы Галуа, которая оставляет неизменным элемент (?, а), является тождественной. Следовательно, (?, а) порождает все поле К (а). Отсюда мы получаем нужный результат:
Любое циклическое поле п-й степени при условии, что его основное поле содержит корни п-й степени из единицы и п не делится на характеристику, получается присоединением корня п-й степени из некоторого элемента основного поля.
Если основное поле К не содержит корней п-й степени из единицы, то для использования описанного метода нужно сначала присоединить к К корни ? п-й степени из единицы. При таком присоединении группа Галуа остается циклической.
Докажем теперь еще несколько фактов о неразложимости двучленных уравнений простой степени р.
Сначала предположим, что основное поле К содержит корпи р-й степени из единицы; тогда согласно доказанному в начале этого параграфа группа Галуа является подгруппой циклической группы порядка р, а потому либо всей группой, либо единичной группой. В первом случае все корни сопряжены и, следовательно, уравнение неразложимо. Во втором случае все корни остаются инвариантными относительно подстановок группы Галуа; следовательно, уравнение распадается на линейные множители уже в поле К. Итак, многочлен хр — а либо неразложим, либо полностью разлагается на линейные множители.
Если поле К не содержит корней из единицы, то утверждать так много уже нельзя. Однако имеет место теорема:
Либо многочлен хр — а неразложим, либо элемент а является р-й степенью и в поле К имеет место равенство:
хр — а = хр — Рр = (х — Р) (хр'1 рхр 2 -ф... -ф Рр1).
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ
211
Доказательство. Предположим, что многочлен хр — а разложим:
хр — а — ср (х) ф (х).
В своем поле разложения многочлен хр — а разлагается следующим образом:
р—I
хР ~ а = П - ^9) (0Р = а)?
v = 0
Следовательно, множитель <р (х) должен быть произведением множителей х — ?v0, а свободный член ±Ь многочлена ср(х) должен иметь вид ± где ?' — корень р-й степени из единицы:
Ьр = 0№ =
Так как 0<р.<р, имеет место равенство (р, р) = 1; поэтому при подходящих целых рациональных числах р и сг
рр + ор = 1, а = а№аор = Ьрраар\
следовательно, элемент а является р-н степенью.
Интересные теоремы о разложимости двучленных уравнений содержатся в работах Капелл и (Capelli A.). Sulla riducibilit? delle equazioni algebri-chc. — Rendiconti Napoli, 1898 и Дарби (Darbi G.). Sulla riducibilit? delle equazioni algebriche. — Annali di Mat. (4), 1926, 4, p. 185 — 208.
Задача. Если не предполагается, что основное поле К содержит корни /i-й степени из единицы, то группа двучленного уравнения хп — а — 0 изоморфна некоторой группе линейных подстановок по модулю п:
х' ~сх -f- b.
(Соответствующее нормальное поле равно К (0, ?) и для каждой подстановки о из группы справедливы равенства at, — ?с и об =?*0.)
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed