Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть теперь показатель степени к рассматриваемых корней из единицы является некоторым простым числом q. В этом случае уравнение деления круга выглядит так-
Ф?(*)=т?гг = *?~1 + *7 2 + ... + *+1=0.
Оно имеет степень Я —<7 — 1.
206 ТЕОРИЯ ГАЛУА (ГЛ. VIII
Пусть ? —примитивный корень q-й степени из единицы. Группа классов вычетов, взаимно простых с q, циклична (§ 43); следовательно, в этом случае она состоит из п элементов:
!. g> g2’ •••> g“"1.
где g — «примитивное число» по модулю q, т. е. элемент, порож-
дающий группу классов вычетов. Группа Галуа является, следовательно, циклической и порождается тем автоморфизмом а, который переводит ? в ?г. Примитивные корни из единицы могут быть представлены следующим образом:
С, Iе, ?**........С*я_\ где ?*“ = ?.
Положим
C^Cv,
где с числами v можно оперировать по модулю
?g-v+я __ ^
Имеем
(СО = ® (Г) = {a (С)}*' = (?*)*' = С*'"1 = Cm-
Следовательно, автоморфизм о увеличивает индекс на 1. v-крат-ное повторение автоморфизма о дает
Cv (СО = C/+V
Следовательно, автоморфизм ov увеличивает индекс на v.
Элементы С; (< = 0, 1, п— 1) составляют базис расширения. Чтобы это увидеть, нужно лишь заметить, что они линейно независимы. Действительно, элементы t,t совпадают с точностью до порядка следования с ?, ..., ??-1; любое линейное соотношение между ними поэтому означает, что
OiC + • . ? + Яд-lC?’ 1 = О*
или, после сокращения на ?:
а1 “Ь агС + • • • + ад- iC?~2 — 0-
Отсюда следует, поскольку ? не удовлетворяет ни одному уравнению степени, меньшей <7 — 1, что
<7j — «2 — • • • — -1 — ^ »
следовательно, элементы С; линейно независимы.
Подполя поля деления круга получаются немедленно с помощью подгрупп циклической группы (см. § 7, конец):
Если
§ 60] ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА 207
— разложение числа п на два положительных множителя, то существует подгруппа д порядка /, состоящая из элементов
ое, о2\ ..., од' 1>р, о^е,
где о?е — единичный элемент. Каждая подгруппа может быть получена таким способом.
Каждой такой подгруппе д соответствует в силу основной теоремы теории Галуа некоторое промежуточное подполе А, состоящее из элементов, которые выдерживают подстановку ое и, следовательно, все подстановки из д. Такие элементы имеют вид
'П\- — ?у + ?у + е+ ?УГ2е + ? • • + ?ч + (/-1)е (V = 0, ..., е—\). (5)
Элементы, определенные с помощью (5), следуя Гауссу, называют /-членными периодами поля деления круга.
Каждый элемент выдерживает подстановку ог и ее степени, но не выдерживает любую другую подстановку группы Галуа. Следовательно, каждый элемент г]у порождает некоторое промежуточное поле А. Например, возьмем у = 0; тогда
^ ^ (Ло)>
Ло = ?о + ?е + ?2е + •••+?(/-1) е =
= ? + ?**-К*8’ + ...+ Є*1/ 1)р.
Тем самым найдены все подполя поля деления круга 55(?).
Пример. Пусть (Е) (Р —поле корней 17-й степени из единицы:
^ = 17; п = 16.
Одним из примитивных по модулю 17 чисел является g = 3, потому что все классы вычетов, взаимно простые с 17, являются степенями класса вычетов 3 (тосі 17). Следовательно, базис поля деления круга состоит из 16 элементов:
?0 = ?; ?і = ?3; ?2 = ?9; ...
Существуют подполя степеней 2, 4 и 8. Вот описание каждого из них.
8-членные периоды:
Ло = ? + ^8 + ^4 + ^2 + ^1 + ?8 + ^4 + С2,
Г)х = ?3-К-7 + ?5 + ?-в + ?-3+Г + ?-5 + ?в-
Легко проверить, что
Л0+Л1 = — 1,
ЛоЛі = — 4-
Следовательно, элементы % и % являются корнями уравнения
У2 + У~ 4 = 0, (6)
208
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ. VIII
решение которого выглядш так:
Ч =
2
± і П7.
4-членные периоды.
Но^+^+^-К4, ?1 = С3 + ?;5 + С-3+С-5,
?3 = ?-7 + ?-6 + ?7 + ?6-
Имеем
1о + Ъ = Чо, && = -!,
"Д ^3 = %> ?1^3 = 1 •
Следовательно, ?0 и \г удовлетворяют уравнению
х2 — ц0х — 1 =0.
Равным образом, ^ и |3 удовлетворяют уравнению
х2 — тцх — 1=0.
(7)
(8)
Эти уравнения указывают на то, что было известно заранее: поле (Е)(У квадратично над і}(і|0).
Рассмотрим два 2-членных периода:
Корни 17-й степени из единицы могут, следовательно, вычисляться последовательным решением квадратных уравнений.
Задача 4. Провести аналогичные рассмотрения для поля корней пятой степени из единицы.
Задача 5. Доказать, что г]0, ... , г|с_і составляют некоторый базис поля Д.
Задача 6. Показать, что решения квадратных уравнений (6) и (9) вещественны и могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Вывести отсюда способ построения семнадцатиугольника.
До сих пор основным по тем поаоянно служило поле рациональных чисел. Предположим теперь, что характеристика основ-
*р> = Є + Є-\ ^(4) = ?4 + ? 4.
Сложение и умножение дают
Я,ч)Л<4) = ?3 + ?-8 + ?1Ч-?-5 = |1.
(9)
или
+ 1 =0.
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И ДВУЧЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
209
ного поля К не делит число /г; тогда по-прежнему каждый автоморфизм будет переводить примитивный корень /г-й степени из единицы ? в некоторую степень ?\ где к взаимно просто с /г:
ОкЪ = ?х-
По-прежнему будет выполнено равенство
= °Тц'
Следовательно, группа Галуа поля К (?) изоморфна некоторой подгруппе классов вычетов по модулю Н, взаимно простых с /г.
§ 61. Циклические поля и двучленные уравнения
