Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
203
должен был бы делиться на произведение f(x)g(x):
хл- 1 = /(x)g(x)/i(x), (2)
где согласно § 30 многочлен h (х) тоже должен быть целочисленным. Далее, многочлен g(xp) имеет ? своим корнем, а потому
должен делиться на f(x):
g(xp) = f(x)k(x), (3)
причем опять-таки k (у) — целочисленный многочлен.
Рассмотрим теперь (2) и (3) как сравнения по модулю р. Тогда по модулю р:
g(xp)^{g{x)]p.
Действительно, если выполнить возведение в степень справа, записав предварительно g(x) без коэффициентов как сумму степеней х (например, вместо 2х3 записать х3 + х3), а затем раскрыть скобки в соответствии с правилами из § 37, получив {g(x)}p возведением в р-ю степень каждого слагаемого, то получится как раз g(xp). Из (3) теперь следует, что
{g(x)}P = f(x)k(x) (mod р). (4)
Разложим обе части равенства (4) на неразложимые множители по модулю р. В силу теоремы об однозначном разложении на простые множители многочлена с коэффициентами из поля Z!(р) (ср. § 18), каждый множитель ср (х) из / (х) должен входить и в \g{x))p, а потому и в g{x). Следовательно, правая часть в (2) по модулю р делится на ср2 (х), а потому по модулю р как левая часть xh — 1, так и ее производная Дхл 1 должны делиться на ф(х). Однако производная ЛхЛ-1 в силу того, что h^Q(p), имеет лишь те простые делители х, которые не делят хЛ —1. Тем самым мы получили противоречие.
Таким образом, f(x)=±g(x) и ^ — корень многочлена /(х). Покажем теперь следующее: все примитивные корни h-й степени из единицы являются корнями многочлена f(x). Пусть — такой корень из единицы и пусть
v = pt ... рп,
где pi — равные или различные простые множители, взаимно простые с /г.
Так как ? удовлетворяет уравнению f(x) = 0, таким же должен быть и элемент Повторение рассуждений для нового
простого числа р2 показывает, что и элемент &>Рг удовлетворяет этому уравнению. Продолжая таким образом, мы получим, что ?v удовлетворяет уравнению /(х)=0.
Следовательно, все корни многочлена ФЛ (х) удовлетворяют уравнению /(х)= 0; так как /(х) неразложим, а ФЛ (х) не имеет
204
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ. VIII
кратных корней, то
Фл (*)=/(*)•
Тем самым доказана неразложимость уравнения деления круга').
На основании этого факта мы можем легко построить группу Галуа поля деления круга (Q(?).
Прежде всего, степень поля равна степени многочлена <?>h (х) и, следовательно, равна числу ф (h) (ср. § 42). Любой автоморфизм поля (Q (?) задается тем корнем многочлена Фh (х), в который переходит элемент ?. Однако все корни многочлена Ф,, (х) являются степенями ?\ где А. —число, взаимно простое с h. Пусть ах — автоморфизм, переводящий ? в ?4 Равенство
<*>. ~
имеет место тогда и только тогда, когда
= ^
или
X == ц (h).
Далее,
<Л.М?) = М?Д =
следовательно,
СрОд =
Группа автоморфизмов поля Щ (?) изоморфна, следовательно, группе классов вычетов по модулю h, взаимно простых с h (ср. § 18, задача 6).
В частности, эта группа абелева. Поэтому все ее подгруппы нормальны и все соответствующие им подполя нормальны и абелевы.
Пример. Корни 12-й степени из единицы. Классы, взаимно простые с 12, представляются числами
1, 5, 7, 11.
Поэтому автоморфизмы можно обозначить через а,, ст5, а7, оп, и автоморфизм сгл будет переводить ? в ?\ Таблица умножения здесь такова:
07 <*11
O-l <7ц 0,
7 <*11 <*1 <*Ъ
11 0, <*l
Каждый элемент в этой группе имеет порядок 2. Поэтому, кроме самой группы и единичной подгруппы, здесь есть только
*) Другие простые доказательства см., например, в статье Ландау и непосредственно за ней следующей статье Шура в Math. Z., 1929, 29, S. 462 — 463.
ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
205
три подгруппы:
1- {«о <и.
2. {0Ь а7},
3. {0!, 0П}.
Этим подгруппам соответствуют квадратичные поля, порождаемые квадратными корнями. Чтобы их найти, установим следующее: Корни четвертой степени из единицы г, — I являются также корнями двенадцатой степени из единицы, а потому принадлежат рассматриваемому полю. Стедоватетьно, (Е) (г) — квадратичное подполе.
Точно так же рассматриваемому полю принадлежат корни третьей степени из единицы. Так как
р = — у + у V—3
— корень третьей степени из единицы, расширение (Е) (К—з) является квадратичным подполем.
Из квадратных корней / и У—3 при умножении получается корень ]/3. Счедовательно, (Е)(У 3) — третье подполе.
Выясним теперь, какие подгруппы соответствуют этим полям. Так как 05?3 = ?15 = ?3, элемент г = ?3 выдерживает автоморфизм 05. Счедовательно, поле 1)(г) соответствует группе {о,, 05}.
Так как 07?4 = ?/ = ?4, элемент р = ?4 выдерживает автоморфизм 07. Поэтому !)(]/—3) соответствует группе {0Ь 07}.
Оставшееся по !е (ЕЦ1/3) должно соответствовать группе {<4. Дг}-
Любые два из этих трех подполей порождают все поле. Следовательно, корень из единицы ? можно выразить через два квадратных корня. Действительно,
? = ?~3?4 = Ир = -1 ~‘+/~3 = ^1.
Задача 1. Элемент ?-|-?_1 при Л>2 порождает подполе степени
у Ф (А)-
Задача 2. Определить группу и подполя поля корней восьмой степени из единицы; выразить эти корни через корни квадратные
Задача 3. Определить группу и подполя поля корней седьмой степени из единицы Каково определяющее уравнение поля (Е) (?-)-?-1)?
