Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 81

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 247 >> Следующая

§ 59. Сопряженные группы, поля и элементы ПОЛЯ
Пусть опять © — группа Галуа поля 2 над К и пусть Р— некоторый элемент из 2. Подгруппа д, соответствующая промежуточному полю Н (Р), состоит из подстановок, которые оставл яют элемент р неподвижным. Остальные подстановки из © переводят Р в сопряженные элементы и каждый сопряженный С Р элемент можно получить таким способом (§ 57). В этой ситуации имеет место следующее предложение:
Подстановки группы ©, которые переводят элемент Р в некоторый сопряженный с ним элемент, составляют смежный класс тд подгруппы д и каждый смежный класс переводит элемент р в один-единственный сопряженный с ним элемент.
!) Объединение двух подгрупп некоторой группы —это подгруппа, порожденная объединением упомянутых подгрупп как множеств, Аналогично определяется объединение полей,
§ 59] СОПРЯЖЕННЫЕ ГРУППЫ, ПОЛЯ И ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛЯ 201
Доказательство. Если р и т — подстановки, которые переводят р в один и тот же элемент:
Р(Р)=т(Р).
то
т-‘р (Р)=Т 1т(Р) = Р;
следовательно, т_1р = о — элемент подгруппы g и поэтому р = та; таким образом, р и т лежат в одном и том же смежном классе тд. Обратно, если р и т лежат в одном и том же смежном классе — в классе тд, то р = та, где а —элемент подгруппы g, и
р(Р) = та (р) = т(а(Р)) = т(Р).
Из доказанного факта заново следует, что степень элемента р (т. е. число сопряженных с ним элементов) равна индексу подгруппы g (т. е. числу смежных классов).
Автоморфизм т, который переводит Р в тр, переводит поле к (Р) в сопряженное поле К (тР). Оказывается верным следующее утверждение: поле К (тР) соответствует подгруппе тдт К Действительно, подгруппа, соответствующая полю К (тР), состоит иЗ подстановок о', которые оставляют неподвижным элемент тР; следовательно, для них имеет место равенство
ст'тр =тР,
или
т_1а'тР = р,
или
тДа'т = а в g,
или
а' = тат *,
т. е. это элементы группы тдт-1.
Таким образом, сопряженным полям соответствуют сопряженные группы.
Согласно § 57 поле А нормально над К тогда и только тогда, когда оно совпадает со всеми сопряженными с ним полями. Отсюда следует:
Поле А, К^АеЕ, нормально тогда и только тогда, когда соответствующая группа g совпадает со всеми сопряженными с ней подгруппами тдт-1 внутри ®, щ. е. является в © нормальной подгруппой.
Если А —нормальное поле, то возникает вопрос: какова группа поля А над полем К?
Каждый автоморфизм из © переводит А в себя и, следовательно, задает некоторый автоморфизм искомой группы поля А над К. Произведению двух автоморфизмов из © соответствует при этом произведение соответствующих автоморфизмов поля А, Т- е. © гомоморфно отображается на группу автоморфизмов
202
ТЕОРИЯ ГАЛУЛ
[ГЛ VIII
поля Д. Элементы из @, которые переходят в единичную подстановку поля А, — это в точности элементы из подгруппы д; отсюда следует, по теореме о гомоморфизме (§ 10), что искомая группа изоморфна факторгруппе ©/д. Следовательно,
Группа Галуа поля А над К изоморфна факторгруппе @/д.
Задача 1. Все подполя абелева поля нормальны и сами являются абелевыми. Все подполя циклического поля цикличны.
Задача 2. Если KsAsS и Л — наименьшее нормальное над К поле, содержащее А, то группа, соответствующая полю Л, является пересечением группы, соответствующей полю А, и сопряженных с ней групп.
Задача 3. Каковы подполя поля (Q (р, \Г2), где (Q — поле рациональ-
—1—У—3
ных чисел рассматриваемое как основное, р =---^------примитивный ко-
рень третьей степени из единицы''1 Каковы степени полей? Какие подполя являются сопряженными, какие нормальными?
Задача 4. Те же вопросы относительно поля (Q (У2 , У5 )?
§ 60. Поля деления круга
Пусть (Q — поле рациональных чисел, т. е. простое поле характеристики нуль. Уравнение, имеющее своими корнями только примитивные корни h-й степени из единицы и притом каждый из них однократно:
Фл(х)=0, (1)
называется (ср. § 42) уравнением деления круга, а поле корней h-й степени из единицы называется полем деления круга или круговым полем. В § 42 мы уже видели, чю корни /г-й степени из единицы в поле комплексных чисел делят единичную окружность на h равных дуг.
Покажем теперь, что уравнение (1) неразложимо в поле (Е).
Пусть f (х) = 0 — неразложимое уравнение, которому удовлетворяет произвольно выбранный примитивный корень из единицы ?. При этом / (х) можно рассматривать как целочисленный многочлен с содержанием 1. Нужно показать, что f (х) =Фн(х).
Пусть р — простое число, на которое не делится число h. Тогда вместе с ? также и ?р является примитивным корнем h-й степени из единицы, и этот элемент удовлетворяет некоторому целочисленному неразложимому уравнению g(t,p) = 0, левая часть которого имеет содержание 1. Прежде всего покажем, что / (х) = = eg-(x), где е = ± 1 — обратимый элемент в кольце целых чисел.
Многочлен хн — 1 вместе с f (х) имеет корнем элемент ?, а вместе с g (с) — корень ?р; следовательно, этот многочлен делится как на f (х), так и на g(x). Если бы f (х) п g(x) были существенно различными многочленами (т. е. отличались бы друг от друга не только обратимым постоянным множителем), \о xh — 1
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed