Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(х — оуб) (х — ста0) ... (х —сг/!0) = О, (1)
коэффициенты которого остаются инвариантными при действии группы о, а потому принадлежат полю А. Следовательно, степень элемента 0 над А не больше, чем порядок подгруппы д. Таким образом, остается лишь одна возможность: подгруппа д является в точности группой Галуа поля 2 над полем Л. Тем самым утверждение 3 доказано.
Наконец, если л—порядок группы®, Л —порядок подгруппы д и / — индекс этой подгруппы, то
л = (2 : К), /г = (2: А), /г = А-/,
(2 : Н) = (2 : А) • (А : К),
откуда
(Д:К) = /.
Этим доказывается утверждение 4.
Согласно только что доказанной теореме связь между подгруппами д и промежуточными полями А является взаимно однозначным соответствием. Возникает следующий вопрос: как найти подгруппу д, когда известно А, и как найти А, когда известна подгруппа д?
Первое очень просто. Предположим, что уже найдены сопряженные с 0 элементы 8ц ..., 0„, выраженные через б: тогда у нас есть автоморфизмы б >—+ бт, которые исчерпывают группу ©. Если теперь задано подполе А = К (Рц ..., Р*), где Рц ..., р* — известные выражения, зависящие от 0, то д состоит просто из тех подстановок группы ©, которые оставляют инвариантными элементы рц ..., рА, потому что такие подстановки оставляют инвариантными все рациональные функции от Рц ..., рА.
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГАЛУА
199
Обратно, если задана подгруппа д, то составим соответствующее произведение
(х — стх0) (х2 — о20) ... (х — ал0).
Коэффициенты этого многочлена, согласно основной теореме, должны принадлежать полю Д и даже порождать поле Д, потому, что они порождают поле, относительно которого элемент 0, как корень уравнения (1), имеет степень /г, а быть собственным расширением для Д это поле не может. Следовательно, образующие поля А являются просто элементарными симметрическими функциями ОТ 0^0, ..., СТ/,0.
Другой метод СОСТОИТ в ТОМ, чтобы отыскивать элемент х(0). который при подстановках из д остается неподвижным, но никаких других подстановок из 03 не выдерживает. Тогда элемент X (6) принадлежит полю Д, но не принадлежит никакому собственному подполю поля Д; тем самым этот элемент порождает Д.
С помощью основной теоремы теории Галуа получается полное описание промежуточных между Н и 2 полей, когда известна группа Галуа. Очевидно, число таких полей конечно, потому что конечная группа имеет лишь конечное число подгрупп. Об отношении включения между различными полями также можно судить по соответствующим группам; точнее, имеет место теорема:
Если Д! — подполе поля Д2, то группа д,, соответствующая полю Аг, содержит группу д2, соответствующую полю Д2, и наоборот.
Доказательство. Пусть сначала Д! е Д2. Тогда каждая подстановка, оставляющая на месте элементы из Д2, оставляет на месте и элементы из А1.
Пусть, далее, ^ з д4. Тогда каждый элемент поля, который выдерживает все подстановки из дъ выдерживает и все подстановки из д2.
В заключение выясним следующий вопрос: что происходит с группой Галуа поля К (6) над полем И, когда основное поле К расширяется до некоторого поля Л и соответственно расширение К (6) — до расширения Л(0)? (Конечно, мы предполагаем, что символ Л (0) имеет смысл, т. е. как Л, так и 0 содержатся в некотором общем поле П )
Подстановки 01—*-0%, которые после продолжения становятся автоморфизмами поля Л (0), дают также изоморфизмы поля К (0); но так как К(0) нормально над К, эти изоморфизмы являются и автоморфизмами расширения И (0). Поэтому группа подстановок, получающаяся после расширения основного поля, является подгруппой исходной группы подстановок. То, что эта подгруппа может быть собственной, сразу усматривается в частном случае выбора Л как промежуточного поля между К и И (0). Но описанная подгруппа может и совпадать с первоначальной; тогда
200
ТЕОРИЙ ГАЛУА
(ГЛ УШ
говорят, что расширение основного поля не редуцирует группу поля К (6).
Задача 1. Пересечение двух подгрупп группы Галуа ©соответствует объединению полей, соответствующих этим подгруппам, а объединению подгрупп соответствует пересечение полей !).
Задача 2. Если 2—циклическое расширение поля К степени п, то для каждого делителя й числа п существует ровно одно промежуточное расширение Д степени й и два таких промежуточных поля содержатся друг в друге тогда и только тогда, когда степень одного из них делится на степень другого.
Задача 3. С помощью теории Галуа заново определить подполя в б/7 (рп) « 43).
Задача 4. Пусть КєЛ и К (б) — нормальное расширение поля К. Показать, что группа-поля К (б) над К тогда и только тогда равна группе поля Л (0) над Л, когда К(б)ПА = К.
Задача 5. С помощью теорем § 56 доказтть утверждение: поле К(аі), которое получается приссединением корня некоторого неразложимого алгебраического уравнения, тогда и только тогда обладает подполем Д, удовлетворяющим условию
КсДсК (а!),
когда группа Галуа этого уравнения как группа подстановок корней имприми-тивна. В частности, поле Д можно определить так, чтобы степень расширения (Д : К) была равна числу областей импримитивности.
Задача 6. Показать, что основная теорема верна и для несепарабельных расширений (характеристики р) при следующей модификации. Утверждение 2 принимает вид: совокупность элементов из 2, выдерживающих подстановки из 3, является «полем корней поля Д в поле 2», т. е. совокупность тех элементов поля 2, некоторая рАя степень которых принадлежит Д. Утверждение 3 принимает такой вид: для каждой подгруппы д можно найти ровно одно поле Д, которое инвариантно относительно операции извлечения корней р-й степени и выдерживает подстановки из д и только из д. Утверждение 4 формулируется для редуцированных степеней.
