Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Два промежуточных поля А, А' сопряжены над К тогда и только тогда, когда они переводятся друг в друга некоторой подстановкой из группы Галуа.
Положим А = К(а); тогда точно так же получается утверждение:
Два элемента а, а' поля Е сопряжены друг с другом над К тогда и только тогда, когда они переводятся друг в друга некоторой подстановкой из группы Галуа поля 2.
Если уравнение /(*) = 0 неразложимо, то все его корни сопряжены, и наоборот. Следовательно,
Группа уравнения /(х) = 0 транзитивна тогда и только тогда, когда уравнение неразложимо над основным полем.
Число различных сопряженных с а элементов поля Е равно степени неразложимого уравнения, определяющего а. Если это число равно 1, то а является корнем линейного уравнения и поэтому содержится в К. Следовательно,
Если элемент а поля Е остается неподвижным при всех подстановках из группы Галуа поля Е, т. е. переводится всеми подстановками в себя, то основное поле К содержит а.
Из всех этих теорем рке видно то большое значение, которое имеет группа автоморфизмов при изучении свойств поля Приведенные теоремы лишь для удобства формулировались для конечных расширений; с помощью «трансфинитной индукции» они без труда переносятся и на бесконечные расширения. Они остаются верными даже для несепарабельных расширений, если только заменить степень расширения на редуцированную степень и утверждение последней теоремы высказать так: «... то основное поле К содержит ар>, где р — характеристика». Напротив, «основная теорема Галуа», которой посвящен следующий параграф, выполняется только для конечных сепарабельных расширений.
Расширение Е ноля К называется абелевым, если его группа Галуа абелева, циклическим, если его группа Галуа циклична, и т. д. Точно так же уравнение называется абелевым, циклическим, примитивным, если его группа Галуа абелева, циклическая или (как группа подстановок корней) примитивная.
Особенно простой пример групп Галуа доставляют поля Галуа йГ (рт) (§ 43), если содержащееся в них простое поле П рассматривать как основное. Рассмотренный в § 43 автоморфизм в (а I—> аР) и его степени в2, в3, ..., в”1 = 1 оставляют неподвижными все элементы из П и поэтому принадлежат группе Галуа; но так
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГАЛУА
197
как поле имеет степень т, эти автоморфизмы составляют всю группу. Последняя является, таким образом, циклической порядка т.
Задача 1. Каждая рациональная функция корней некоторого уравнения, которая под действием подстановок из группы Галуа переводится в себя, принадлежит основному полю, и наоборот.
Задача 2. Какие возможности имеются для группы неразложимого уравнения третьей степени?
Задача 3. Группа уравнения состоит только из четных подстановок тогда и только тогда, когда квадратный корень из дискриминанта этого уравнения содержится в основном поле (предполагается, что характеристика не равна двум).
Задача 4. С помощью задач 2 и 3 найти группу уравнения
х» + 2х + 1 = О
над полем рациональных чисел. (Исследовать прежде всего транзитивность1)
3 а д а ч а 5. С помощью квадратных и кубических корней решить уравнения
х2 — 2 = 0, х4 — 5х2 + 6 = 0
и построить их группы. Сделать то же самое для «уравнений деления круга»
х4 + X2 + 1 = о, х4 + 1 = 0
(все над полем рациональных чисел).
§ 58. Основная теорема теории Галуа
Основная теорема звучит так:
1. Каждому промежуточному полю А, Ке4е2, соответствует некоторая подгруппа 9 группы Галуа ©>, а именно, совокупность тех автоморфизмов из ©, которые оставляют на месте все элементы из А. 2. Поле А определяется подгруппой д однозначно; именно, поле А является совокупностью тех элементов из 2, которые «выдерживают» все подстановки из д, т. е. остаются инвариантными при этих подстановках, 3. Для каждой подгруппы д группы © можно найти поле А, которое находится с подгруппой д в только что описанной связи. 4. Порядок подгруппы д равен степени поля 2 над полем А; индекс подгруппы д в группе © равен степени поля А над полем К.
Доказательство. Совокупность автоморфизмов поля 2, оставляющих на месте каждый элемент из А, является группой Галуа поля 2 над А, т. е. некоторой группой. Тем самым доказано утверждение 1. Утверждение 2 следует из последней теоремы § 57, примененной к 2 как расширению и А как основному полю. Несколько более трудным является утверждение 3,
198
ТЕОРИЯ ГЛЛУА
[ГЛ VIII
Пусть опять 2 = К (0) и пусть д — заданная подгруппа группы ©. Обозначим через Л совокупность элементов из 2, которые при всевозможных подстановках о из д переходят в себя. Очевидно, множество А является полем, потому что если аир остаются неподвижными при подстановке ст, то неподвижными при этой
подстановке будут и а-фр, а —р, а-р, и, в случае Р=Ф=0, •?-.
Далее, имеет место включение КеЛ^2. Группа Галуа поля 2 над полем А содержит подгруппу д, так как подстановки из д оставляют неподвижными элементы из А. Если бы группа Галуа поля 2 над А содержала больше элементов, чем входит в д, то степень (2 : А) была бы больше, чем порядок подгруппы д. Эта степень равна степени элемента 0 над полем А, так как 2=А(0). Если огц ..., аЛ — подстановки из д. то 6 является одним из корней уравнения к-й степени
