Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 1. Если число элементов множества ЭЯ простое, то каждая транзитивная группа на ЭЯ примитивна.
Задача 2. Определенная выше группа Ь транзитивна на ЭЯг.
Задача 3. Пусть множество ЭЯ разлагается на три области импримитивности, в каждой из которых по два элемента. Пусть порядок группы д равен 12. Чему равен'
а) индекс группы I) в группе 0);
б) индекс группы д в группе 1);
в) порядок группы д?
Задача 4. Порядок транзитивной группы подстановок конечного множества объектов делится на число этих объектов.
Замечание. Число переставляемых объектов называется степенью группы подстановок.
Глава восьмая
ТЕОРИЯ ГАЛУА
Теория Галуа занимается конечными сепарабельными расширениями поля К и, в частности, их изоморфизмами и автоморфизмами. В ней устанавливается связь между расширениями данного поля К, содержащимися в фиксированном нормальном расширении этого поля, и подгруппами некоторой специальной конечной группы. Благодаря этой теории оказывается возможным ответить на различные вопросы о разрешимости алгебраических уравнений.
Другое изложение теории Галуа см. в книге Артин (Artin Е). Galois theory. —Notre Dame, 1944.
Все тела, рассматриваемые в этой главе, считаются коммутативными. После К будет называться основным.
§ 57. Группа Галуа
Если задано основное поле К, то согласно § 46 каждое конечное сепарабельное расширение Е этого поля порождается некоторым «примитивным элементом» 0: Е = К(0). Согласно § 44 расширение Е имеет в некотором подходяще выбранном расширении П столько же изоморфизмов над К, т. е. изоморфизмов, оставляющих все элементы из К на месте, какова степень п расширения Е поля К. В качестве такого расширения Q можно взять поле разложения многочлена f (х), корнем которого является элемент 6. Такое поле разложения является наименьшим над К нормальным расширением, содержащим поле Е, или, как мы еще будем говорить, П является нормальным расширением, соответствующим полю Е. Изоморфизмы расширения К (6) над К могут быть определены благодаря тому обстоятельству, что элемент 0 переводится ИМИ В сопряженные элементы 0J, ..., 0„ поля П. Каждый элемент (р(0) = ^й/(а1еК) переходит тогда в cp(0v.) = = 2]?a0v и поэтому вместо того, чтобы говорить об изоморфизме, можно говорить о подстановке 9 i—>? 0V.
Необходимо, однако, обратить внимание на то, что элементы 0 и 0V являются лишь вспомогательным средство Ai, делающим более удобным представление изоморфизмов, и что п о н я-
ГРУППА ГАЛУА
195
т и е изоморфизма совершенно не зависит от того или иного выбора элемента 6.
Если 2 — нормальное расширение, то все сопряженные поля К (6^ совпадают с 2.
Действительно, прежде всего, в этом случае все 0Г содержатся в К (6). Но К (бу) эквивалентно К (6), а потому является нормальным. Следовательно, и наоборот, элемент 0 содержится в каждом поле К (0у).
Обратно: если 2 совпадает со всеми полями 2 (6У), то расширение 2 нормально.
Действительно, в этой ситуации расширение 2 равно полю разложения К (бг, 6„) многочлена /Дх), а потому оно нормально.
Будем впредь считать, что 2 = К (0) — нормальное расширение. В этом случае изоморфизмы, переводящие 2 в сопряженное с ним поле К (бу), оказываются автоморфизмами поля 2. Очевидно, что эти автоморфизмы поля 2 (оставляющие неподвижным каждый элемент из К) составляют группу из п элементов, которая называется группой Галуа поля 2 над полем К или относительно К. В наших последующих рассмотрениях эта группа играет главную роль. Будем обозначать ее через О. Подчеркнем еще раз, что порядок группы Галуа равен степени расширения п = (2 : К).
Когда в некоторых случаях речь заходит о группе Галуа конечного сепарабельного расширения 2', не являющегося нормальным, подразумевается группа Галуа соответствующего нормального расширения 2э2'.
Для отыскания автоморфизмов совсем нет необходимости искать примитивный элемент расширения 2. Можно построить 2 путем нескольких последовательных присоединений: 2 = К (аь ... ..., ат), затем найти изоморфизмы поля К (ах), которые переводят а! в сопряженные с ним элементы, после этого продолжить полученные изоморфизмы до изоморфизмов поля К (ах, а2) и т. д.
Важным частным случаем является такой, когда ах, ..., ат — это все корни некоторого уравнения /(х) = 0, не имеющего кратных корней. Под группой уравнения /Дх) = 0 или .многочлена /(х) подразумевается группа Галуа поля разложения К (аъ ..., ат) этого многочлена. Каждый автоморфизм над полем К переводит систему корней в себя, т. е. переставляет корни. Если такая перестановка известна, то известен и автоморфизм, потому что если, например, а1( ..., ат переходят в а[, ..., а'т, то каждый элемент из К (аг, ..., ат), как рациональная функция ф(аь ..., ат), переходит в соответствующую функцию ф (а!, ..., а’т). Следовательно, группу уравнения можно рассматривать как группу некоторых подстановок корней. Именно эта группа подстановок будет всегда подразумеваться, когда речь зайдет о группе какого-либо уравнения.
196
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ VIII
Пусть А— некоторое «промежуточное» поле: К^ДдИ. По одной из теорем § 41 каждый изоморфизм поля А над К, переводящий А в сопряженное с ним поле А' внутри Е, можно продолжить до некоторого изоморфизма поля 2, т. е. до некоторого элемента группы Галуа. Отсюда следует утверждение-
