Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть аъ аг — порождающие элементы групп Зі 3,-
и Ці (t = l, ..., г) — примитивный корень ttj-Й степени из единицы. Если % — произвольный характер группы ©, то % (ai) лля каждого і является корнем пгй степени из единицы и
х(а,)=Л-г.
Каждый элемент л: из © однозначно представляется в виде х = а\т ... а/
и
г (х) = X Ы• • • х (агУг = Л ^ Л*2*2 • • • Л *r*r.
В качестве kt можно взять любое из чисел 0, 1, ..., щ — 1; следовательно, имеется п = п1...пг характеров. Выберем одно из ki равным 1, а все остальные равными 0; в результате получится характер ог. Произвольный характер представляется в виде
\ *Г=0Н2--Ч'.
Группа характеров ©' является, следовательно, прямым произведением циклических групп порядков пх, ..., п„ т. е. изоморфна группе ©. Вновь оказалось так, что ©'и © изоморфны.
ПРОСТОТА ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ ГРУППЫ
189
Точно так же, как раньше, доказываются равенства (11) и (12) и из них выводятся (13)—(19). В равенстве (15) нужно, конечно, вместо а* писать
а в (18) вместо х\кг —
Позднее мы докажем основную теорему об абелевых группах, которая утверждает, что любая абелева группа с конечным множеством порождающих элементов, в частности, любая конечная абелева группа, является прямым произведением циклических групп. Следовательно, доказанные выше формулы выполняются в любой конечной абелевой группе.
Теория характеров может быть перенесена и на бесконечные абелевы группы. Двойственность между © и ©' является важным вспомогательным средством в изучении бесконечных абелевых групп. См. Поптрягин Л. С.—Ann. of Math. 1934, 35, p. 361, и ванКампен (van K?mpen E. R.).—Ann. of Math., 1935, 36, p. 448.
§ 55. Простота знакопеременной группы
В § 51 мы видели, что симметрические группы 03 и @4 разрешимы. В противоположность этому, все последующие симметрические группы разрешимыми не являются. Правда, в них всегда есть нормальная подгруппа индекса 2 — знакопеременная группа Л„; однако композиционный ряд каждой из них переходит от 'Л„ сразу к (?, в соответствии со следующей теоремой:
Теорема. Знакопеременная группа (п > 4) проста.
Нам понадобится
Лемм а. Если нормальная подгруппа Dt группы Л„ (п > 2) содержит цикл из трех элементов, то Dt = Dl„.
Доказательство леммы. Пусть 9? содержит цикл (1 2 3). Тогда в Dt должен содержаться и квадрат этого цикла (2 1 3) и все трансформированные из этого цикла элементы:
а -(2 I ЭДст1 (ое'Л,).
Возьмем о = (1 2) (3 k), где &>3; тогда
о-(2 1 3)-0-1 = (1 2 k).
Таким образом, подгруппа Dt содержит все циклы вида (1 2 k). Но такие циклы порождают всю группу (§ 10, задача 4). Следовательно, Dt =
Доказательство теоремы. Пусть Dt— произвольная отличная от (? нормальная подгруппа в Л„. Мы должны доказать, что Dt = 31„.
190
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ. VII
Выберем в 9? подстановку т, которая, будучи отличной от 1, оставляет неподвижными наибольшее возможное количество чисел из тех, на которые действуют подстановки из данной симметрической группы. Покажем, что т переставляет в точности три числа, а остальные не сдвигает с места.
Сначала предположим, что т переставляет в точности 4 элемента. Тогда т является произведением двух транспозиций, потому что просто нет другого способа построить четную подстановку, которая переставляет в точности 4 элемента. Следовательно, пусть
т = (1 2) (3 4).
По условию «>4, поэтому подстановку т можно трансформировать с помощью подстановки сг = (3 4 5) и получить
т1 = ато-1 = (1 2) (4 5).
Произведение пу является тройным циклом (3 4 5) и, следовательно, переставляет меньше чисел, чем т, что противоречит выбору т.
Предположим далее, что т переставляет более 4 чисел. Вновь запишем т в виде произведения циклов, причем начнем с наиболее длинного; например,
т = (1 2 3 4
или, если самый длинный цикл состоит из трех чисел, т = (1 2 3)(4 5 ...)..., или, если в подстановку входят лишь двойные циклы, т = (1 2) (3 4) (5 6)...
Трансформируем т с помощью подстановки
а = (2 3 4);
получим подстановку
= ата
которая в каждом из трех названных случаев имеет такой вид; Т1 = (1 3 4 2 ...)..., т1 = (1 3 4) (2 5 т1 = (1 3) (4 2) (5 6)...
Во всех этих случаях х1фх, так что х-^фЬ Подстановка Т'Чх в первом и третьем случаях оставляет неподвижными все числа й>4, потому что для них х^ — х&. Во втором же случае
т = (1 2 3) (4 5 ...) и оставляет неподвижным все числа, кроме 1, 2, 3, 4 и 5;
ТРАНЗИТИВНОСТЬ И ПРИМИТИВНОСТЬ
191
таким образом, эта подстановка переставляет лишь пять чисел, в то время как т переставляет более пяти чисел.
Таким образом, во всех случаях подстановка т 1х1 переставляет меньше чисел, чем т, что противоречит выбору т. Следовательно, подстановка т может переставлять лишь три числа. Но тогда т является тройным циклом и, согласно лемме, 91 = 91„. Теорема полностью доказана.
Задача. Доказать, что для пф 4 знакопеременная группа 21я является единственной нормальной подгруппой группы отличной от самой этой группы и от @.
§ 56. Транзитивность и примитивность
Группа подстановок некоторого множества ЭЛ называется транзитивной над ЭЛ, если некоторый элемент а из ЭЛ с но-мощью подстановок из этой группы может быть переведен во все элементы х из ЭЛ.
