Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 75

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 247 >> Следующая

о(ху) = о(х)о(у). (1)
Из (1), как обычно, следует, что
о{х1 = ст (лг3) ... а (*„),
а (хп) = сг {х)п, а(е) = 1, сг(.х *) = а(х) С
ГРУППОВЫЕ ХАРАКТЕРЫ
185
Если о ит — характеры, то с помощью равенства
от (а) = а (х) х (х)
определяется произведение отображений ат; оно тоже является характером. Относительно такого умножения характеры группы © в поле К образуют абелеву группу ©', группу характеров группы © в поле К.
Теорема о независимости. Различные характеры о1, ..., ст„ группы © в поле К всегда линейно независимы, т. е. если в поле К выполняется равенство
О© (*) + ••? + спап (х) = 0 (2)
для всех х из то все коэффициенты сг равны нулю.
Доказательство. (По книге: Артин (Artin E.). Galois-sche Theorie. — Leipzig, 1959, S. 28.) Для л = 1 из cla1 (x) = 0 сразу следует, что cx = 0. Следовательно, можно начать индукцию по л и предположить, что утверждение справедливо для л—1 характеров.
Заменим в (2) элемент х на ах, где а — произвольный элемент группы @; тогда получится равенство
G© (а) ©(*)+...+ спап (а) оп (х) = 0. (3)
Вычтем отсюда равенство (2), умноженное на оп (а): ci {© (а) — оnia)) © (х) + ...
... + с„_! {оп_х (а) - ап (а)} оп_г (х) = 0. (4)
Согласно индуктивному предположению характеры оу, ..., сг„_] линейно независимы; следовательно, все коэффициенты в (4) должны быть нулевыми:
Ci{ot(a) — on(a)}= 0 для t = 1, ..., л — 1. (5)
Так как и оп — различные характеры, для каждого фиксированного i можно так выбрать элемент а, чтобы было
© (а) ф оп {а).
Тогда из (5) следует, что
С* = 0 ДЛЯ 1 = 1, ..., Л— 1.
Подставим это в (2); тогда окажется, что с„ = 0, чем и доказывается требуемое.
Следствие. Если ..., оп —различные изоморфные отображения поля К' в поле К, то все они линейно независимы. Действительно, можно рассматривать аг, ..., сг„ как характеры мультипликативной группы поля К' в поле К-
Особенно важны характеры абелевых групп.
Пример 1. Пусть © — циклическая группа порядка л. Опишем характеры группы © в поле К.
186
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ. VII
Если а —образующий элемент группы © и % — произвольный характер, то положим
X (а) = ?• (6)
Произвольный элемент из © является некоторой степенью х = аг (г = 0, 1, п — 1).
Из (6) следует, что
%(х)=% (аг) = ?*• (7)
Далее, ап = е\ следовательно, % (ап) = ?га = 1, а потому ? — корень п-й степени из единицы. Обратно, каждому корню п-й степени из единицы ? в поле К соответствует некоторый характер %, определяемый равенством (7).
Согласно задаче 4 из § 42 корни п-й степени из единицы образуют в поле К циклическую группу, порядок п' которой является делителем числа п. Следовательно, характеры % образуют циклическую группу порядка п', где п’\п.
Предположим, что К содержит все корни п-й степени из единицы и п не делится на характеристику поля К; тогда п’ = п и, следовательно, группа характеров ©' группы © изоморфна
самой группе ©. Пусть, скажем, т] — примитивный корень п-й
степени из единицы в поле К? Тогда равенство
а (аг) = тЕ
определяет характер а и все характеры х* являются степенями характера а:
Х* = ст* (? = 0, 1, ..., п-\).
Следовательно,
Хк{а*) = Чкг- (8)
При фиксированном & характер можно рассматривать как функцию от г, а при фиксированном г— как функцию от й. Так получаются все характеры из ©'. Следовательно, опять группа характеров ©' изоморфна группе ©.
В конце § 42 было доказано, что
{ п при ?=1,
1 +?+... +Сп~1 = \п Р г'
1. 0 при 1ф\
для любого корня п-й степени из единицы ?. Отсюда в силу (8) следует, что
п, 2 = 0,
§ 54] ГРУППОВЫЕ ХАРАКТЕРЫ 187
или, записывая иначе,
2*<*>4n х1е' <п>
х 1 0, х в,
2*«ад х=|/ гг»
Из (11) следует, если х заменить на ху, что
, ( п, если и = х~1,
Hx(*)x(y) = { А (13)
х ( О в остальных случаях.
Точно так же из (12) следует:
VI I ! \ / \ f я> если Х' = Х_1.
2jX (*)х(*) = { _ (14)
ж ( 0 в остальных случаях.
Введем матрицу А с элементами
Qzk — tk (а*) (г, k = 0, 1, ..., л-1) (15)
и матрицу В с элементами
bkz = ~tk{crz)\ (16)
тогда равенство (13) можно записать в виде
АВ = 1,
а равенство (14) —в виде
ВА = \.
Оба равенства говорят о том, что В —обратная матрица для матрицы Л.
Функции f (х), которые отображают группу © в поле К,
определяются п значениями
fie), fia), /(«2)> •••>
и, следовательно, образуют л-мерное векторное пространство над К. Согласно теореме о независимости п характеров %к (х) линейно независимы. Следовательно, каждую функцию f(x) можно выразить через %к (х):
f(x) = ?ck%k(x). (17)
k
Положим / (х) = ! (аг) =? (г); тогда вместо (17) можно записать
? (г) = ,? 2 (7*11*г- (18)
к И
Решение этой системы уравнений с учетом того, что матрица В —
188
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ VII
обратная для А, выглядит так:
Ck^2ibkzg(z) = ^'2i'4~k*g(z). (19)
2 2
В частности, возьмем в качестве К поле комплексных чисел и положим
2лІ
ї] = е п ;
тогда (18) превратится в конечный ряд Фурье
g (?) = Л сье п (20)
k = 0 *
где
Ck 2е 2ш п 2g(z)- (21)
г = 0
Пример 2. Пусть © — прямое произведение циклических групп Зі, ? • ?, 3г порядков пъ ..., пг. Будет предполагаться, что наименьшее общее кратное v порядков пи ..., пг не делится на характеристику поля К, а само поле К содержит корни v-й степени из единицы. Определим все характеры группы © в поле К.
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed