Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
f (х + Щ = f (дг) + hfi (дг) + h2f2 (*) + ...,
или
f(x + h)^f(x)+ hfi (х) (mod /г2).
Коэффициент fi (х) при первой степени h (определенный однозначно) называется производной многочлена f (х) и обозначается через f (х). Очевидно, можно получить /' (х) и таким способом: разделить разность f(x + h) — f(x) на содержащийся в ней множитель h и в полученном многочлене положить /г = 0. Отсюда легко следует, что когда о — поле вещественных чисел, такое определение производной согласуется с обычным определением производной в дифференциальном исчислении как предела lim —?1^1.
А — О п
Поэтому только что определенную производную обозначают также через или через ~ f(x), или, если f содержит, кроме X, и
ф
другие переменные, через ~дх.
Имеют место следующие правила дифференцирования'.
(f-fg)' =/'-f g’ (производная суммы), (1)
(fgY =f'g + fg’ (производная произведения). (2)
Доказательство формулы (1): f (х + h) + g(x + h)==f(x) + hf (x) - g (x) + hg' (x) (mod /г2).
106 ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ V
Доказательство формулы (2): f (x + h)g(x + h) = {f (х) + hf (х)} {g(х) + hg' (х)} =
= / (х)g (*) + h {/' (х) g{x) + f (х)g’ (х)} (mod /г2).
Точно так же доказываются более общие утверждения:
(/l + - • - + /n)# =fl +•• - + /я> (3)
(/i/2 • • ./»)'=/;/, ? • •fn+hfJ.. .+hh .../»• (4)
Из (4) следует далее, что
(ахп)' = пах"”1. (5)
Из (3) и (5) получается равенство \ о / 1
С помощью этой формулы можно было бы формально определить все описанные выше производные.
Задача 1. Пусть F (гь гт) — некоторый многочлен и Fv — dF/dzv.
Доказать формулу
т
г f <'?<«>.......................
1
Задача 2. Для однородных многочленов г-й степени f (xlt хп) из равенства
f(hxlt , hxn) = hrf (xv ... , xn) вывести «эйлерово дифференциальное соотношение» (тождество Эйлера):
V
Задача 3. Дать алгебраическое определение производной рациональной функции f (x)/g (х) с коэффициентами из поля и доказать известные формулы для производных суммы, произведения и частного.
§ 28. Корни
Пусть с —целостное кольцо с единицей.
Элемент а из о называется корнем многочлена /(х) из о [а], если /(а) = 0. Имеет место следующая теорема:
Если а — корень многочлена f (а), то f (а) делится на а — а.
Доказательство. Деление f (а) на а — а дает равенство
f(x) = q (а) (а - а) + г, где г —некоторая константа. Подставим в это равенство х = а:
0 = г,
КОРНИ
107
откуда
f(x) = q(x) (де-а).
Если аъ ..., ак — различные корни многочлена f (л:), то f (х) делится на произведение (х — аг) (х — а2)... (х — ак).
Доказательство. Для /г = 1 теорема уже доказана. Если считать ее доказанной для k— 1, то будет иметь место равенство:
/ (де) = (х - ах)... (де - aft_x) g (х).
Подстановка х — ак дает
0 = (ak - аг)... (а* - а*_х) g (аА);
следовательно, так как в о нет делителей нуля и акфаъ ... ..., акф а*_х, имеем
§(«*) = 0,
откуда в силу предыдущей теоремы g (х) = (х - ак) h (х),
f (х) = (х-а1)...(х- аА_х) (х - ак) /і (де),
а это и требовалось доказать.
Следствие. Отличный от нуля многочлен степени п имеет в целостном кольце не более п корней.
Эта теорема верна также и в целостных кольцах без единицы, потому что такие кольца могут быть погружены в поле. Однако эта теорема неверна в кольцах с делителями нуля; например, в кольце классов вычетов по модулю 16 многочлен х2 имеет
в качестве корней классы, представляемые числами 0, 4, 8, 12;
существуют даже кольца, в которых многочлен такого же вида имеет бесконечно много корней (§ 11, задача 3).
Если f (х) делится на (x — a)k, но не делится на (х — а)кл1, ю
элемент а называют k-кратным корнем многочлена f(x). Имеет место теорема:
k-крагпный корень многочлена / (х) является не менее, чем {k — \)-кратным корнем производной /' (х).
Доказательство. Из f (х) = (х — a)k g {х) следует, что
f (де) = k(x- a)*-1 g (х) + (х- a)k g' (х),
откуда /'(де) делится на (де — a)ft_1.
Точно так же доказывается утверждение: простой (т. е. 1-кратный) корень многочлена f (х) не является корнем производной /' (х).
Перейдем теперь к некоторым теоремам о корнях многочленов от многих переменных.
Если / (дсц ..., хп) — ненулевой многочлен, а каждая из переменных хъ ..., де„ может принимать бесконечное множество значений из кольца о или любого целостного кольца, содержащего о,
108
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. V
то существует по крайней мере один набор значений х1 = а1, ... ..., хп~ап, для которого / {аъ ..., ап) Ф 0.
Доказательство. Многочлен /(хь ..., хп) как многочлен от хп (с коэффициентами из целостного кольца с[хи ..., л:„_г]) имеет не более конечного числа корней; следовательно, в бесконечном множестве значений, которое можно подставлять вместо элемента хп, существует такой элемент а„, что
/ (хг, . . . , Хп~і, С?„) =7^ 0.
Рассмотрим это выражение как многочлен от хп^\ тогда существует значение ап-ъ для которого
/ {%Ъ . . • , Хп~2> 1» ГСЛ) 7^= 0,
и т. д.
Следствие. Если для всех значений переменных хг из некоторого бесконечного целостного кольца многочлен / (хъ ..., хп) принимает значение нуль, то он сам является нулевым.
