Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Оеі (Л') = 1Ы (Л).
(18)
Задача 5. Доказать, что
(и-х) (и-у) ...
(я-х) (ъ-у' ... (и, V, ...)? й (х, у, ...)?
А ® =Ое1 (Л) • (В),
* 0
(19)
ложения определителя по строке»: пусть Ь\ 6" —I-я строка матрицы В,
В\ В” —миноры («— 1)-го порядка ее определителя, причем В[—опреде-
п
Ое1 (В) = ^ (-!)'+' Ь[В\.
(20)
1 = 1
(Так как функция Эе1 линейная по строкам, то
П
ОеЦВ)= 2 0 ... о ь{ о ... о ,
102
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. IV
§ 26. Тензорное произведение, свертка и след
Пусть ЭЛ — некоторое п-мерное векторное пространство над полем К.
Из двух векторов х и у можно следующим образом построить тензорное произведение х®у. Возьмем два переменных ковек-тора ии®, которые независимо друг от друга пробегают двойственное векторное пространство ЭЛ'*, и построим произведение
/(и, ю) = {и-х){ю-у).
Оно является билинейной формой от и и о и поэтому определяет некоторый тензор
t?av — (u?x)^v?y). (1)
Этот тензор мы называем тензорным произведением Ь = х®у\ формулой (1) он определен инвариантно. В координатах имеем:
2 = (2 (2 окук)
и, следовательно,
Цк _ х!ук' (2)
Докажем теперь предложение:
Каждое билинейное отображение пар (л;, у) в какое-либо векторное простеранство Л можно получить следующим образом: сначала нужно из каждой пары (х, у) построить произведение ? = л: ® у, и затем линейно отобразить пространство Ц двухвалентных тензоров в пространство 91.
Доказательство. Произвольное билинейное отображение В со значениями В(х, у) в пространстве 91 можно, следуя § 24, представить формулой
В (х, у) = 2 (3)
где 5,— векторы из 9?. Определим линейное отображение 5 из ^ в 9? формулой
«= 2 *«?***'• (4)
В частности, если применить это отображение к тензорному
произведению 1 = х®у, то в силу (2) получится равенство
5 (х <?> у) = 2 Зпх‘ук = В (х, у),
чем и доказывается требуемое.
Добавление. Линейное отображение 5 определяется билинейным отображением В(х, у) однозначно.
Доказательство. Произведения базисных векторов р1(&рк составляют некоторый базис в пространстве тензоров !?. Следо-
§ 261 ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, СВЕРТКА И СЛЕД ЮЗ
вательно, если известны значения 5 (р^Рь), то преобразование 5 однозначно определено.
Следует еще заметить, что теорема и добавление к ней формулируются без обращения к координатам. Лишь для доказательства вводится произвольный базис ръ рп.
Задача. Сформулировать аналогичную теорему для полилинейного отображения 5 (х, у, г, ...).
Само собой разумеется, что сформулированная выше теорема выполняется и тогда, когда векторы х и у берутся из различных векторных пространств. Пусть ф — пространство, двойственное пространству 3)?. Из произвольного вектора х из ЭЛ и ковектора и из $ можно построить тензорное произведение
* = лг® «.
Его координаты таковы:
1‘к = х‘ик.
Рассмотрим теперь билинейное отображение В, которое паре х, и сопоставляет скалярное произведение х а = и х:
В(х, и) = х и.
В силу теоремы и добавления к ней существует однозначно определенное линейное отображение пространства тензоров в поле К, для которого
8{х®и) = х-и. (5)
Приведенные выше формулы (3) и (4) дают нам средство выразить объект St через координаты тензора t, В нашем случае формула (3) выглядит так:
X ? и = 2 Х1Щ\ поэтому формула (4) должна иметь вид
*=2*1. (6)
Операция 5 называется сверткой смешанного тензора ?. Приведенное выше доказательство показывает, что свертка является операцией, инвариантной относительно выбора координатных систем.
Составим теперь из компонент ^ рассматриваемого тензора матрицу
т=\Ш’
тогда результат свертки оказывается суммой диагональных эле-мешов, или следом матрицы Т:
5 (Т) = 2] й. (7)
След матрицы Т является, следовательно, некоторым инва-
риантом тензора I, не зависящим от выбора координатных систем.
104 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ IV
Согласно задаче 2 из § 24 тензорам / с координатами взаимно однозначно сопоставляются линейные преобразования Т с матричными элементами /*. Сопоставление осуществляется инвариантно с помощью формулы
1их = и- Тх.
Итак,
След Б (Т) = У] ^ матрицы Т является инвариантом линейного преобразования Т.
Эту теорему можно также доказать непосредственно, без использования тензорного произведения. Действительно, из определения следа (7) немедленно следует, что
5(5Л) = 5(И5),
5 (СЛВ)=5(ЛВС).
Положим здесь В = Р и С = Рг, где Р — неособая матрица; тогда получится
5 (Р-1 АР) = Б (Л).
Согласно (22) из § 23 матрица преобразования А в произвольно выбранном новом базисе имеет вид/7 М/\ Таким образом, след 5 (Л) не зависит от выбора базиса.
Глава пятая
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Содержание. Простые теоремы о многочленах от одной и нескольких переменных с коэффициентами из коммутативного кольца с.
§ 27. Дифференцирование
В этом параграфе мы определяем производные целой рациональной функции для произвольного кольца многочленов без использования непрерывности.
Пусть f (х) = 2 ?iX{ — произвольный многочлен кольца с[дг]. Построим в кольце многочленов о[х, h] многочлен f(x-j-h) — = 2 (л: -f-Н)1 и разложим его по степеням h:
