Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Существует единственная антисимметрическая полилинейная форма D, которая на базисных векторах ръ ..., рп принимает значение, равное единице. Каждая антисимметрическая полилинейная форма F получается из D умножением на
a = F(pu ..., рп).
Форма D (х, у, ...) называется определителем п векторов X, у, ... относительно базиса ръ ..., рп.
Если в качестве 3)1 выбрать описанное в § 19 модельное векторное пространство, элементами которого служат последовательности (х1 хп), то в ЭЛ естественным образом окажется выде-
АНТИСИММЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМЫ
99
лепным базис
е* = (0, 1, 0, 0). (10)
Координатами произвольного вектора (х1, хп) относительно этого базиса будут как раз х1, ..., хп. Следовательно, определитель П оказывается функцией п последовательностей, которые можно расположить в виде столбцов матрицы В:
Xі У1 ...
в = X2 у2 ...
хп уп ...
Согласно сказанному выше эта функция П полностью определяется тремя свойствами:
1) О линейна по каждому столбцу матрицы 5;
2) ?) равна нулю, если два столбца одинаковы;
3) ?) равна единице, если в качестве столбцов взять базисные векторы (10).
Обычно определитель В обозначают так:
?> =
х1 У1 X2 у"~
хп у11
= 2 — х,у’гк
(12)
Основное свойство определителя И заключено в теореме об умножении определителей. Мы получим ее без труда, если применим к векторам х, у, ... линейное преобразование А и построим форму
И (Ах, Ау, ...).
Она вновь будет полилинейной и окажется равной нулю, если два вектора из числа х, у, ... будут одинаковыми. Следовательно, мы можем применить основную теорему, т. е. формулу (9), и получить
И (Ах, Ау, ...)=0(Ар1......... Арп)0(х, у, ...). (13)
Вектор Арь имеет координаты а*, а\, ... Поэтому (13) можно записать и так:
(14)
2а\У1... а\ а\... Xі У1...
а\ а|... X2 У2...
В этом и состоит теорема об умножении определителей. Если переобозначить элементы матрицы В через Ь[, то теорему об
100
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. IV
умножении можно записать и так:
1Ж-
IX6 5 Цар-
а\ а\... 6! Ъ\...
а\ а2... Ь\ ь\...
или еще короче, если через Эе! (Л) обозначить определитель матрицы А,
Ое1(АВ)^ОеЦА)ОеЦВ). (15)
В частности, если в качестве А взять любую неособую матрицу, а в качестве В — ее обратную, то левая часть в (15) будет равна 1, и мы получим
Ое1(Л)ОеКЛ-1) = 1. (16)
Отсюда следует, что определитель неособой матрицы А не равен нулю.
Формула (13) может быть также переписана следующим образом:
И (Ах, Ау, ...) = Ве\(А)0 (х, у, ...).
Если обе части умножить на произвольный элемент с из поля К, то получится
сЭ(Ах, Ау, ...)=ВеЦА)сО (х, у, ...),
или
В (Ах, Ау, ...) = Det(A)F(x, у ...),
где Е — произвольная альтернированная полилинейная форма. Элемент Ое1(Л) является, следовательно, множителем, на который нужно умножить форму Е (*, у, ...), чтобы получить Е (Ах, Ау, ...). Отсюда следует, что Эе! (Л) зависит только от преобразования А, а не от матрицы А, вычисленной в данном базисе ръ ..., рп. Следовательно, мы можем говорить об определителе Эе! (Л) линейного преобразования А, не обращая внимания на заданный базис. Этот определитель всегда равен определителю матрицы А, каким бы ни был выбранный базис:
Эе! (Л) = Эе! (Л). (17)
Задача 1. Если столбцы матрицы линейно зависимы, то определитель равен нулю.
Задача 2. Определитель линейного преобразования А равен нулю тогда и только тогда, когда А особое.
Задача 3. Система п линейных уравнений с п неизвестными
2а*** = с'
разрешима при любых с' тогда и только тогда, когда определитель матрицы |в^| отличен от нуля.
Задача 4. Система п линейных однородных уравнений с п неизвестными
IX**=°
АНТИСИММЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМЫ
101
обладает ненулевым решением тогда и только тогда, когда определитель равен нулю.
Транспонирование. Рассмотрим определитель X1 X2 ... хп
где сумма справа построена таким образом, что векторы х, у, ... в процессе суммирования оказываются переставленными всевозможными способами. Функция Т7 является альтернированной и на базисных векторах еъ ..., еп ее значение равно единице. Следовательно, Т7 — определитель Г) (х, у, ...). Отсюда:
Определитель транспонированной матрицы А1 равен определителю матрицы А:
Задача 6. Произвольная альтернированная полилинейная форма В (х, у, ...) от более чем п векторов х, у, ... из «-мерного векторного пространства равна нулю тождественно.
Задача 7. Если из скалярных произведений и-х,... п+1 ковекто-ров и, V, ... на п + 1 векторов х, у, ... векторного пространства размерности п составить определитель из п + 1 строк и п+1 столбцов, то этот последний будет равен нулю.
Задача 8 + Доказать, что
где А, В — квадратные клетки.
Задача 91). Актором к-го порядка определителя (12) называется определитель матрицы из элементов, расположенных на пересечении выделенных ? строк и к столбцов матрицы В (см. (11))- Доказать следующее правило «раз-
литель матрицы, получаемой из В вычеркиванием 1-й строки и /-го столбца; тогда
где строки, не выписанные явно, те же, что и в матрице В. Переставив строки и столбцы, применить к слагаемым задачу 8.)
х) Этих задач нет в оригинале; они добавлены потому, что авшр неоднократно пользуется ниже формулой (20) и понятием минора, —Прим, ред.
