Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Подобно рассмотренным в § 21 линейным формам билинейные формы можно складывать и умножать на константы из К-Билинейные формы составляют векторное пространство размерности п2. Элементы этого векторного пространства называются также тензорами, а точнее, — ковариантными двухвалентными тензорами. Мы обозначаем эти тензоры через t и вместо f(x, у) пишем t xy. Согласно (7) в этом случае
t xy = 2 tuXif.
96 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IV
При желании разделительную точку можно отбросить и писать просто txy.
Аналогично можно ввести в рассмотрения полилинейные формы или ковариантные тензоры произвольной валентности:
f(x, у, Z, ...) = t • xyz ...,
причем эти формы линейны как по х, так и по у, z, ... Их коэффициенты таковы:
ttkl...=f(Pi,Pk, Pi, •??) = t-PiPbPi ...
и
t xyz ... = /(*, у, Z, ..) = ^11ш...х‘укг1...
Двойственным образом строятся контравариантные тензоры, т. е. полилинейные формы, аргументы которых являются ковек-торами и, V, ...; например,
t - uvw = g(w, v, w)='^itmuivkwi.
Ковариантные одновалентные тензоры — это в точности ковек-торы, а контравариантные одновалентные тензоры взаимно однозначно соответствуют векторам л; пространства 5Ш:
t-u = u-x='^xiui.
По этой причине ковекторы и векторы называют также, еле. дуя Эйнштейну, ковариантными и контравариантными векторами.
Наконец, можно рассматривать смешанные тензоры t. Они определяются через полилинейные формы, аргументы которых являются векторами и ковекторами в произвольном числе; например,
t-ux = f(u, x)='^1tfuixk.
Задача 1. Произвольный двухвалентный тензор симметричен по х и у:
t ? xy = tyx
тогда и только тогда, когда симметричны его координаты:
hk — tkr
Задача 2. Смешанные двухвалентные тензоры а с координатами a!k взаимно однозначно сопоставляются линейным преобразованиям А пространства Яй в себя с матричными элементами alk. В силу равенства
а • их —и ? Ах
сопоставление инвариантно, т. е. не зависит от координатной системы.
Задача 3. Ковариантный тензор g с координатами gik определяет некоторое линейное преобразование х i—*? и пространства ЗД в двойственное ему пространство Ша по формуле
и ? z — g ? гх
или
§ 25] АНТИСИММЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМЫ 97
Если преобразование неособое, то его можно обратить:
xk='^gklui.
Тогда произведение матриц ||g;*|| и ||gfc/|| является единичной матрицей:
2 = 6?.
§ 25. Антисимметрические полилинейные формы и определители
Пусть К — поле и ЭЛ — некоторое «-мерное векторное пространство над К с базисом ръ ..., рп.
Билинейная форма f (х, у) ='^ltlkxiyk называется альтернированной или антисимметрической, если для всех х и у имеют место равенства
f(*>y)+f(y,x) = o, (1)
f (х, х) = 0. (2)
Свойство (1) является следствием свойства (2), потому что из (2) следует, что
f(x+y, х+у) =/(лг, x) + f(x, y)+f(y, x)+f{y, У) = 0,
и в силу (2)
f(x, y) + f(y, х) = 0.
Если применить (1) и (2) к базисным векторам, то получится, что
Uk + hi = 0. (3)
tu = 0. (4)
Обратно, (1) и (2) следуют из (3) и (4). В самом деле, достаточно доказать (2). Имеем
f(x, х) = 2] = 2 1нХ1х1 + 2 (/,•„ + hi) х‘хк = 0.
i<k
Полилинейная форма F (х, у, z, ...) называется антисимметрической, если она антисимметрическая по любой паре своих аргументов. Для этого достаточно, чтобы F (х, ...) обращалась в нуль всякий раз, когда два аргумента оказываются равными. Для координат t{jk... это означает, что они обращаются в нуль,, как только оказываются равными два индекса, и меняют знак, когда два индекса меняются местами:
t... /... / = 0,
t... /... *... = — t... ft ... / ...
Рассмотрим частный случай антисимметрической полилинейной формы от п аргументов на «-мерном пространстве ЭЛ. Ее
98
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. IV
координаты tij . имеют п индексов, каждый из которых изменяется от 1 до п. Если два индекса оказываются равными, то ty„ = 0. Поэтому нужно рассматривать лишь те , индексы которых получаются перестановкой чисел 1, 2, ..., п. Положим
112 ... п = а-
Из последовательности индексов 1, 2, ..., л можно получить любую другую, последовательно осуществляя транспозицию (т. е. перемену местами) двух индексов. Действительно, с помощью таких транспозиций можно сначала поставить на желаемое место индекс 1, затем индекс 2 и т. д. При каждой транспозиции коэффициент tij., умножается на —1. Четное число транспозиций (ik) дает в качестве произведения четную подстановку, а нечетное число транспозиций — нечетную подстановку. Следовательно, если л — подстановка, которая переводит 12 ... п в ijk ..., то
( а, если я четная,
tijk — \ (5)
[ — а, если я нечетная.
Если, в частности, выбрать а = 1, то получится специфическая полилинейная антисимметрическая функция
D(x, у, ...) = Х±х‘у’г* ... (6)
Среди прочих полилинейных форм эта форма выделяется тем, что ее значение на базисных векторах plt рп оказывается равным единице:
D(Pi, ..., рп) = \. (7)
Из (5) следует, что каждая антисимметрическая полилинейная форма равна aD:
F = aD, (8)
или, так как F (р1 рп) — а, то
F(x, у, ...)=Р(ръ ..., рп) D (х, у, ...). (9)
Тем самым мы получили следующую основную теорему:
