Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Число г независимых уравнений (5) или независимых ковекторов аг называется рангом системы уравнений. Таким образом, имеет место теорема:
Решения х однородной системы линейных уравнений ранга г составляют в 99? некоторое (п — г)-мерное подпространство 9?, т. е. существует п — г линейно независимых решений _у(1), ..., у(п~г\ от которых линейно зависят все решения системы.
Чтобы получить решения уравнений (4) эффективно, применяют известный метод последовательного исключения, который приводит к цели и в случае неоднородных уравнений
2]ашхк = с1 (1 = 1, ..., я). (6)
1) Ниже подпространства (? и Ш автор называет ортогональными. — Прим. перев.
90
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(ГЛ IV
Если в каком-либо уравнении все коэффициенты равны нулю, то либо с1Ф 0 и уравнение противоречиво, либо С; = 0 и уравнение можно опустить. Если же одно из неизвестных хк в каком-либо уравнении имеет ненулевой коэффициент, то его можно из этого уравнения Еыразить через прочие неизвестные и подставить во все остальные уравнения. Продолжая таким образом, мы либо придем к противоречию после нескольких шагов, либо некоторые из неизвестных, скажем, х1, .хг, выразим через остальные, причем остальные хг+1, хп могут потом уже выбираться произвольно.
Если данная система уравнений однородна (все с1 = 0), то у нее обязательно есть нулевое решение (0, 0). Другие (нетри-
виальные) решения существуют в точности тогда, когда ранг системы меньше п.
Задача 1. Система (6) разложима в точности тогда, когда каждая линейная зависимость между линейными формами (ц имеет место и для С;, т. е. тогда, когда
из 2^'а/ = 0 следует У] Ыщ = 0.
Задача 2. Система из п однородных линейных уравнений с п неизвестными имеет нетривиальное решение лишь тогда, когда линейные формы аг ап
линейно зависимы, т. е. когда имеет нетривиальное решение (у1 уп) «транспонированная система уравнений»:
2 «/'«/* = о.
§ 23. Линейные преобразования
Пусть 90? и 91 — векторные пространства. Линейное преобразование—это отображение А из 9Д в 9? со следующими свойствами:
А{х+у) = Ах + Ау, (1)
А (хс) = (Ах)с. (2)
Из (1), как всегда, следует, что
А (х —у) = Ах — Ау, (3)
А (Хх-{- х,) — Ахг-\- Ахг. (4)
Если пространство ЗЛ имеет конечную размерность пг и векторы ръ рт составляют в нем базис, то значение линейного преобразования А на произвольном векторе х полностью определяется его значениями на базисных векторах. Действительно, пусть
Х=ргх1+ ...+ртхт.
Тогда в силу (4) и (2)
у = Ах = (Ар^х1 + ... + {Арт) хт.
(5)
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
91
Если 91 также имеет конечную размерность п, то в (5) можно слева и справа векторы у и Арк выразить через базисные векторы <7!, ..., пространства 9Е
У = Ц (6)
Ар к = ^ Я Л- (7)
Из (5) при сравнении коэффициентов получается
У' = 2 (8)
Следовательно, линейное преобразование А определяется некоторой матрицей А, т. е. прямоугольной таблицей, в которой в специальном порядке записаны тп элементов а‘к тела К:
«1 й1 * • «1
2 т
ап, а\? .
\ 2 т
А —
Если базисы рх, ..., рт и цъ ..., цп фиксированы, то каждое линейное преобразование А однозначным образом определяет некоторую матрицу А, и наоборот. Верхний индекс / является номером строки, а нижный индекс к, — номером столбца, на пересечении которых в матрице стоит элемент Согласно (7) элементы /г-го столбца — это координаты вектора Арк
Если, кроме преобразования А, задано второе преобразование В, отображающее векторное пространство Ш в векторное пространство 31 размерности г:
= (9)
то мы получим линейное преобразование С = ВА, отображающее 991 в 31 в согласии со следующей формулой:
гН=2 = 2 о°)
а соответствующей матрицей будет матрица
С = ВА, (11)
элементы которой таковы:
= О2)
Формула (12) определяет умножение матриц. Матрицы В и А можно перемножить и получить произведение ВА лишь тогда, когда в матрице В столько же столбцов, сколько в матрице А строк. Элемент снк произведения матриц ВА получается по формуле (12), в которой элементы /1-й строки матрицы В умножаются
92
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ IV
на элементы &-го столбца матрицы А и полученные произведения складываются.
Разумеется, для умножения матриц, как и для умножения преобразований, выполняется закон ассоциативности'.
О (ВА) = (БВ) А.
По этой причине пишут просто ОБА. Точно так же поступают в записи произведения более, чем трех сомножителей.
Каждому вектору х с координатами хь можно поставить в соответствии матрицу из одного столбца:
*1
хт
Эта матрица определяет вектор х — ^Р^ однозначно, как только фиксированы базисные векторы ръ ..., рт. Равенство (8), определяющее преобразование, теперь можно записать как матричное равенство:
У = АХ.
Если ЭЛ и 9? имеют одинаковые размерности, то А является квадратной матрицей. В частности, линейные преобразования векторного пространства ЭЛ в себя задаются квадратными матрицами.
Под рангом линейного преобразования А понимается размерность образа ЛЭЛ, также являющегося векторным пространством, т. е. максимальное число линейно независимых векторов среди образов Ах. Под столбцовым рангом матрицы А понимается число линейно независимых столбцов. Если Л —матрица линейного преобразования А , то столбцы в А — это векторы Аръ ... ...,Арт и мы имеем предложение:
