Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если G не является Т4-группой, то, кроме е, существуют и другие элементы р, принадлежащие всем окрестностям единицы е, а потому не отделимые от е. Очевидно, эти элементы составляют некоторую нормальную подгруппу N в G. Согласно § 162 под-
588
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XX
группа N является замкнутой оболочкой множества {е}, поэтому подгруппа N замкнута. Факторгруппа G/N является 7\-группой.
Задача. Пусть в группе G задана последовательность содержащихся друг в друге нормальных подгрупп:
Щ => tf2 Г) ...
Если базисными окрестностями единицы объявить эти нормальные подгруппы, то свойства Е! — Е5 будут выполнены и G окажется T-группой. Свойство Ев будет выполнено только тогда, когда пересечение всех состоит из одной единицы.
§ 164. Подгруппы и факторгруппы
Каждая подгруппа в T-группе снова является Т-группой. Особенно важными являются замкнутые подгруппы.
Каждая открытая подгруппа является замкнутой.
Доказательство. Пусть Я —открытая подгруппа в G. Смежные классы аН также открыты в G. Объединение всех смежных классов, не считая Я, вновь является открытым. Это объединение является дополнением для подгруппы Я; следовательно, Я замкнута.
Пример 5. Пусть Я —кольцо всех матриц из п строк и п столбцов над полем вещественных чисел. Обратимыми элементами в R являются те матрицы А, которые обладают обратной матрицей А'1. Обратимые матрицы составляют некоторую группу G. Определим кубическую окрестность произвольной матрицы А как совокупность матриц В, для которых
\bik-aik\ <е
(см. § 159, пример 4); тогда R будет аддитивной, a G —мультипликативной топологической группой. В группе G можно рассмотреть подгруппу матриц А с положительными определителями D. Эта подгруппа в G открыта, а потому и замкнута.
Пусть Я — произвольная нормальная подгруппа в G. Замкнутость этой подгруппы пока не предполагается. Построим фак-торгруппу д1Н_в'
При гомоморфном отображении а >—+й группы G на группу G базисные окрестности U единицы е переходят в некоторые подмножества ? группы G, тривиальным образом удовлетворяющие условиям Ег — Ё5. Тем самым множества ? определяют на G некоторую топологию. В смысле этой топологии отображение а*-*й непрерывно, что следует непосредственно из определения непрерывности. Таким образом,
Каждая факторгруппа топологической группы является топологической и отображение а >—+ й при этом непрерывно.
§ 1651
Т-КОЛЬЦА И Т-ТЕЛЛ
589
Выясним теперь, при каких условиях факторгруппа удовлетворяет первой аксиоме отделимости Тх. Вот ответ:
Если нормальная подгруппа Ней является замкнутой- подгруппой, то й/Н является Тг-группой и наоборот.
Доказательство. Пусть Я —замкнутая в С нормальная подгруппа. В этом случае каждый смежный класс аН является замкнутым в в. Если афё, то е не принадлежит классу аН, т. е. е принадлежит открытому дополнению класса аН. Следовательно, существует некоторая окрестность и точки е, не имеющая с аН ни одной общей точки. Образ и в групне О тогда не содержит элемента а. Следовательно, группа О удовлетворяет условию Е6; поэтому О является Тггруппой.
Пусть теперь (} — Тггруппа. Тогда множество элементов афё открыто в О. Так как отображение а \—*? а непрерывно, прообраз этого открытого множества открыт. Однако этот прообраз является дополнением до подгрунпы Я в исходной группе С. Следовательно, подгруппа Я замкнута в С.
Задача. Пусть Я —подгруппа и Я —нормальная подгруппа в 0. Если Я замкнута в 0, то пересечение В — Ы(]Н замкнуто в Я и естественный изоморфизм между Я/О и ЯЯ/Я непрерывен.
§ 165. Т-кольца и Т-тела
Топологическое кольцо (кратко —- Т-кольцо) — это топологическое пространство, которое одновременно является кольцом, причем хфу, —х и ху являются непрерывными функциями своих аргументов. Вместо этого можно предполагать, что х — у и ху — непрерывные функции от х и у. Следовательно:
Т!^. Для каждой окрестности II (а —Ь) существуют окрестности V (а) и V? (Ь) такие, что все разности элементов из V (а) и из 157(6) принадлежат V (а — Ь).
ТИ2. Для каждой окрестности и (аЬ) существуют окрестности V (а) и 157 (Ь) такие, что все произведения элементов из V (а) и № (Ь) принадлежат Я (аЬ).
При определении Т-тела требуется, кроме того, чтобы лг1 было непрерывной функцией от х, т. е. следующее условие:
ТБ. Для каждой окрестности Я (от1) существует окрестность V (а) такая, что элементы, обратные к содержащимся в ней элементам, принадлежат V (а-1).
Если выполнена аксиома ТЭ, то говорят, что топология кольца является топологией тела.
Разумеется, коммутативные Т-тела называются Т-полями.
Всякое кольцо является абелевой группой относительно сложения. Чтобы определить топологию на этой группе, согласно § 162 достаточно определить базис окрестностей V, V, ... нуля,
590
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ XX
который удовлетворял бы условиям 1, 2 и 3 (§ 163). Чтобы умножение также было непрерывно, нужно потребовать следующее:
4. Для а, b и U существуют такие V, W, что
(й+У) (b + W)^ab + U.
Топологическое тело должно, кроме того, удовлетворять следующему условию, эквивалентному TS:
Для элемента, отличного от нуля, и окрестности U существует такая окрестность У, что
