Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 2. Топология векторного пространства, определенная с помощью кубов, не зависит от выбора базиса в этом пространстве.
§ 160. Непрерывность. Пределы
Функция р'=!{р), отображающая топологическое пространство Т в топологическое пространство Т', называется непрерывной в точке р0, если для каждой окрестности II' точки /(р0) в Т' существует окрестность и точки р0 в Т, образ которой целиком содержится В и'.
Аналогично функция /(/?, <7) аргументов р и <7, пробегающих топологические пространства Тг и Т2 соответственно, со значениями в некотором топологическом пространстве Т3 называется непрерывной в точке (р„, р0), если для каждой окрестности V/ точки [ (р0, <7о) существуют такие окрестности и и V точек р0 и <70, что }{р, у) принадлежит V? всякий раз, когда р принадлежит 0, ар принадлежит V.
Если функция непрерывна в каждой точке, то говорят, что она непрерывна или задает непрерывное отображение. Отображение р'=/(р) непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества и' в Т' (т. е. множество элементов из Т, образы которых принадлежат и') является открытым множеством.
Взаимно однозначное и непрерывное в обе стороны отображение топологического пространства Т на топологическое пространство Т' называется топологическим. Любое топологическое отображение переводит открытые множества в открытые, а замкнутые —? в замкнутые.
Последовательность {рг} точек в топологическом пространстве Т называется сходящейся к пределу р, если каждая окрестность и (р) содержит все члены этой последовательности, начиная
584
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XX
с некоторого номера:
Pv^U(p) при V^sk.
При этом можно ограничиться окрестностями U (р) из некоторого базиса окрестностей точки р, так как каждая окрестность содержит некоторую окрестность из базиса.
Задача 1. Непрерывное отображение переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся.
Задача 2. Непрерывная функция от непрерывной функции непрерывна.
§ 161. Аксиомы отделимости и счетности
Важнейшие топологические пространства удовлетворяют не только аксиомам I и II, но и следующей первой аксиоме отделимости:
Тг. Если р ф q, то существует окрестность точки р, не содержащая точку q.
Пространство, удовлетворяющее аксиоме Tlt называется Т'^пространством. Следующая формулировка эквивалентна:
Замкнутая оболочка любой точки есть сама эта точка.
Более сильной, чем Tlt является следующая вторая аксиома отделимости или аксиома Хаусдорфа:
Т2. Если р Ф q, то существуют окрестности U (р) и V (q), не имеющие ни одной общей точки.
Если выполнена аксиома Т2, то пространство называется хаус-дорфовым или Г2-пространством.
Первая аксиома счетности звучит так:
Ах. Каждая точка р обладает счетным базисом окрестностей.
Более сильная вторая аксиома счетности нам не потребуется.
Важные для дальнейшего изложения топологические пространства удовлетворяют первой аксиоме отделимости и первой аксиоме счетности. Для топологических групп, а потому и для топологических колец и тел (являющихся одновременно и аддитивными группами) вторая аксиома отделимости будет получена как следствие первой.
В представленном здесь введении в топологию затронуты лишь самые необходимые основные понятия. Тем, кто хотел бы узнать о топологии больше, имеет смысл обратиться к великолепному учебнику Александрова и Хопфа (Alexandroff Р. S. und Hopf H.). Topologie, I.-Springer-Verlag, 1935, а затем к более современной литературе.
Задача 1. В хаусдорфовом пространстве любая последовательность точек {pv} может обладать лишь одним пределом.
Задача 2. Если имеет место аксиома А1, то замкнутая оболочка любого множества М состоит из всех пределов сходящихся последовательностей {pv} из М. Множество A4 замкнуто, если все эти пределы лежат в М.
I 1621
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГЕУППЫ
685
§ 162. Топологические группы
Топологическая группа (или коротко — Т-группа) — это топологическое пространство, которое одновременно является группой, причем ху является непрерывной функцией от х и у я лг1 является непрерывной функцией от х. Таким образом, к четырем аксиомам группы и двум аксиомам открытых множеств в данном случае добавляются следующие:
ТС]. Для каждой окрестности V (аЬ) произведения аЬ существуй т окрестности V (а) и V? (Ь), произведение V (а) УV (Ь) которых содержится в и (аЬ).
ТС2. Для каждой окрестности и (а-1) существует такая окрестность V (а), что V (а)“1 содержится в II (а-1).
При этом через ЛИ1 обозначается множество элементов х х, обратных к элементам х из М.
Очевидно, достаточно потребовать выполнение аксиом ТСХ и ТС2 для окрестностей и некоторого базиса окрестностей, и выбрать V (а) и № (Ь) тоже из этого базиса.
Вот примеры топологических групп:
а) аддитивная группа поля вещественных или поля комплексных чисел;
б) /г-мерное вещественное пространство (§ 159, пример 4);
в) мультипликативная группа вещественных чисел или комплексных чисел, отличных от нуля.
Каждая группа становится дискретной топологической группой, если на множестве ее элементов взять дискретную топологию, т. е. объявить все множества открытыми.
