Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 1. Точка р тогда и только тогда принадлежит оболочке М, когда каждая окрестность точки р имеет с М общую точку.
Задача 2. Куратовский определяет топологическое пространство как такое множество Т, в котором каждому подмножеству М сопоставлена оболочка М со следующими свойствами: _ _
а) оболочка объединения М у N есть объединение оболочек М\] Ы\
б) множество М содержит множество М;
в) оболочкой множества М является само М;
г) оболочка пустого множества есть пустое множество.
Далее он определяет: если А'1 = М, то множество М называется замкнутым, а если дополнение до некоторого множества М в Т замкнуто, то М называется открытым. Доказать, что определение Куратовского равносильно изложенному здесь определению топологического пространства. _ _
Указание. Из а) прежде всего следует, что если М ^ N, то М е N. После этого из а)Л б), в) получаем, что М является пересечением всех замкнутых множеств Л' = Д1, содержащих М. Отсюда получаются свойства Г и II'. Обратно, а), б), в) следуют из I' и II'.
Множество М называется плотным подмножеством в Т, если замкнутая оболочка множества М равна Т или, что то же самое, если в каждой окрестности любой точки из Т лежат точки из М.
§ 159. Базисы окрестностей
Система окрестностей V (р) точки р образует базис окрестностей точки р, если в каждой окрестности этой точки содержится некоторая окрестность и (р) из рассматриваемой системы. Для того чтобы быть базисом, системе достаточно быть такой, чтобы в каждой открытой окрестности точки р содержалась некоторая окрестность II (р) из этой системы. Например, открытые окрестности точки р составляют базис окрестностей этой точки. В нашем примере 1 открытые интервалы, содержащие точку р, составляют
582
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XX
базис окрестностей этой точки. В примере 2 круги с центром в а составляют базис окрестностей точки а.
Часто топологические пространства определяются тем, что сначала задается базис окрестностей каждой точки, а затем вводятся открытые множества с помощью этого базиса так, как это было сделано в рассмотренных выше примерах. Таким образом, каждой точке р сопоставляют некоторые базисные множества V (р), обладающие следующими свойствами:
Каждой точке р сопоставляются базисные множества V (р), каждое из которых содержит точку р.
и2. Для каждых двух базисных множеств и (р) и V (р) существует базисное множество XV (р), которое содержится в каждом из них.
С помощью этих базисных множеств теперь можно определить открытые множества М как такие, которые вместе с каждой точкой р содержат некоторое базисное множество V (р). Определенные таким способом открытые множества обладают, очевидно, свойствами I и II; следовательно, оказывается определенным некоторое топологическое пространство. Чтобы базисные множества и (р) оказались окрестностями в смысле введенной топологии, они должны удовлетворять некоторому дополнительному условию. Одно достаточное условие получается, если потребовать, чтобы сами и (р) были открытыми множествами:
из. Еслг ^ принадлежит V (р), то V (р) содержит некоторое базисное множество V (<?).
Следующее, более слабое, условие является необходимым и достаточным:
11з. Любое базисное множество и (р) содержит такое базисное множество V (р), что для каждой точки ц из V (р) некоторое базисное множество Х(/ (<7) содержится в V (р).
Если выполнено и^, то внутри и (р) можно определить множество ?/', состоящее из таких точек у, что одно из базисных множеств ХР (<7) каждой точки принадлежит множеству и (р). Очевидно, это множество открыто и содержит р. Следовательно, и (р) содержит открытую окрестность точки р, т. е. и (р) — некоторая окрестность точки р.
Слова «базисные множества» нам теперь больше не нужны: в дальнейшем мы будем называть базисные множества V (р) базисными окрестностями. Совокупность всех базисных окрестностей всех точек р называется базисом окрестностей или системой окрестностей топологического пространства Т.
Понятие системы окрестностей восходит к Хаусдорфу, который рассматривал ТОЛЬКО открытые окрестности. Требования их, и2, и3 —это в точности первые три аксиомы Хаусдорфа об окрестностях. Четвертая аксиома 'Хаусдорфа — аксиома отделимости —будет сформулирована в§ 161.
Пример 4. Определим в п-мерном векторном пространстве над полем вещественных чисел куб со стороной 2е вокруг вектора
§ 1601
НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ПРЕДЕЛЫ
583
(6Х, Ьп) как совокупность векторов (%, ап), для которых
|яг — 6/|<е.
Кубы удовлетворяют условиям иХ) и2, из. Векторное пространство является, таким образом, топологическим пространством, в котором кубы служат базисом окрестностей.
Топологическое пространство называется дискретным, если все его подмножества являются открытыми множествами. Отдельные точки в таком пространстве составляют некоторую систему окрестностей.
Задача 1. Для того чтобы две системы множеств и (р) и V (р) определяли одно и то же топологическое пространство, необходимо и достаточно, чтобы каждое множество и (р) содержало некоторое множество V (р), а каждое множество V (р) содержало некоторое множество и (р).
