Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 224

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 218 219 220 221 222 223 < 224 > 225 226 227 228 229 230 .. 247 >> Следующая

Будем говорить не о нормированиях, а о плейсах. Плейсы поля К будут обозначаться через р, а плейсы поля Б —через ср Если нормирование поля К, соответствующее плейсу р, является продолжением некоторого нормирования поля Е, соответствующего плейсу (), то мы называем р делителем плейса q и пишем р^. Каждый плейс q имеет лишь конечное число делителей рг, соответствующих множителям РуУ) в (1) из § 145. Каждому плейсу рг соответствует пополнение Йх,, состоящее из степенных рядов по униформизирующей П этого плейса. Если каждой функции и сопоставить ее степенной ряд щ., то получится описанный выше изоморфизм 0 у-*- 0у, и I—*? «V
Норма N (и?), построенная в над полем й, называется также локальной нормой функции и относительно плейса р = р^, и обозначается через (и). То же самое можно сказать и о следе. Формулы (7) и (8) могут быть теперь записаны так:
^(«)==П^Л«)- (9)
5(«) = 25р(ы)- 0°)
К 4
Вектор V над полем К был определен как система компонент Кг каждая из которых сопоставлена своему плейсу р. Мы можем определить след 5К произвольного вектора V как некоторый вектор над полем Е, удовлетворяющий равенству
(5^ = 25, (V,). (И)
К 4
Следы в правой части при этом берутся в пополнениях йр = йу над й. В частности, возьмем в качестве V вектор, соответствующий какой-нибудь функции и; тогда в силу (10) след будет равен 5 (и).
Взятие следа У\—»-5V является линейным отображением модуля 2) (К) всех векторов над К в модуль §)(Е) векторов над Е. Поэтому существует двойственное отображение 5* модуля 3)* (Е) ковекторов над Е в модуль (К) ковекторов над К, которое определяется следующим образом:
К'5*р = 5К-р для всех V. (12)
В частности, если р — дифференциал в смысле Вейля, т. е. у.р = 0 для всех у из Е, то 5*р —тоже дифференциал в смысле
576
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(ГЛ. XIX
Вейля:
и • S*p = Su ? р = 0 для всех и.
Мы докажем теорему о вычетах сначала для поля рациеналь-ных функций Ь — А(г). Пусть о йг — классический дифференциал в Е. Рациональная функция
распадается прежде всего в сумму некоторого многочлена и дроби, у которой степень числителя меньше степени знаменателя:
Дифференциал q(z)dz не имеет вычетов. Униформизирующая относительно плейса г = со равна у = г~г и
а в это выражение не входит ни одно слагаемое с у-1.
Оставшаяся дробь, согласно § 36, может быть разложена на простейшие дроби:
Следовательно, достаточно доказать теорему о вычетах для одной простейшей дроби с (г —а)~*. При /г > 1 вычетов нет совсем, так что достаточно рассмотреть лишь дифференциал
Относительно плейса г —а этот дифференциал имеет вычет с, а относительно плейса z = оз — вычет — с. Сумма вычетов, таким образом, равна нулю, и теорема в этом случае доказана.
Общий случай теоремы о вычетах сводится к рассмотренному выше случаю L = Д (г) с помощью отображения, двойственного к взятию следа.
Вычет дифференциала udz относительно плейса р обозначим через resp(udz). Если У —вектор, то вычет произведения V dz обозначим через resp(Fd2).
На основании формулы (14) § 156 дифференциал dz определяет некоторый ковектор %, который мы обозначим через %аг. Следовательно, для каждого вектора V имеет место равенство
q (2) dz = (2 ckzk)) dz = 2 (— ck) y~k-2 dy,
(2 — a)-1 + • - - 4- c, (z — a)“*}.
a
с (z — a)-1 dz.
(13)
P
§ 157]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ВЫЧЕТАХ
577
Назовем два ковектора Кир почти равными, если в определенных с помощью (4) из § 152 произведениях V ?% и V -р слагаемые, соответствующие отдельным плейсам р, соответственно равны (для всех V), за исключением, быть может, конечного множества плейсов р'. Имеет место
Теорема. Существует дифференциал Вейля рЛг, который почти равен Кйг. Этим свойством раг определяется однозначно.
Доказательство. Дифференциал йг определяет в поле рациональных функций Ь = А (г) некоторый ковектор V Так как в Ь имеет место теорема о вычетах, то А.0 является дифференциалом Вейля. Тогда и 5* (Д) — дифференциал Вейля. Обозначим его через раг\
Юг = 5* (*,„).
Каждому плейсу р поля К соответствует некоторый плейс С| поля Т. Если униформизирующая г —а или г-1 относительно плейса р одновременно является униформизирующей относительно р, то говорят, что плейс р не разветвлен над Ь. Тогда можно положить П = г — а (или П = г-1). Пополнение йг, соответствующее плейсу р, в этом случае просто равно полю й степенных рядов от г —а и вычет степенного ряда относительно р равен вычету относительно <].
Почти все плейсы р, т. е. все, кроме конечного числа, не разветвлены в Ь. Действительно, если К = /Д0) и Е (г, 1) — неразложимый по / многочлен с корнем 0, то можно рассматривать Е как многочлен от г и 7. Дискриминант многочлена Е является многочленом от г, который имеет лишь конечное множество корней. Для всех остальных значений г = а многочлен /Да, /) разлагается в произведение различных неразложимых множителей:
/Да, 1) = су-Ь1)...у-Ьп).
Отсюда в силу леммы Гензеля (§ 144) следует, что /Дг, /) в полном поле степенных рядов по г —а полностью разлагается на линейные множители. В разложении (1) из § 145 все множители /Д (/) являются, таким образом, линейными и все поля ?Д = П(0у) равны й. Но тогда г —а является униформизирующей относительно всех плейсов, отвечающих этим полям. Следовательно, все эти плейсы не разветвлены.
Предыдущая << 1 .. 218 219 220 221 222 223 < 224 > 225 226 227 228 229 230 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed