Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Преобразование (9) можно совершенно формально перенести на область степенных рядов от т с коэффициентами из области целочисленных многочленов от переменных а2, а3, ... Кольцо целочисленных многочленов может быть погружено в кольцо многочленов с рациональными коэффициентами. При этом рациональные числа составляют поле характеристики нуль, тогда как исходное поле коэффициентов А может иметь характеристику р.
Теперь провести доказательство уже легко. Дифференциал (8) является дифференциалом функции
(— П-\- I)'1 Я“л+1.
Если эту функцию разложить по степеням т, то получится степенной ряд
р_„ Ь1Т-/!+1 +... + Р-]Т-1 + Ро + рд +...
Дифференциал этого степенного ряда является умноженным на й% степенным рядом, в который не входит слагаемое с тг1. Следовательно, вычет после преобразования остался нулевым, что и требовалось доказать.
Все эти рассмотрения сохраняют силу и тогда, когда ии является не функцией из поля, а некоторым степенным рядом от л, который содержит лишь конечное число слагаемых с отрицательными показателями.
Пусть теперь К —некоторый вектор в смысле § 152, т. е. некоторая система степенных рядов для отдельных плейсов р. Мы можем разложить произведение
Уио йг
относительно каждого плейса р в степенной ряд, умноженный на йп, и определить вычет. Если
^ = (10) — ^-компонента вектора У и
Ы) ~ йл = | йп (11)
—• разложение дифференциала, то вычет равен
гр= 2 1)\>/арк. 02)
1+к=-1
(9)
§ 156]
КЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
573
Так как вектор V и дифференциал во йг имеют лишь конечное число полюсов, то существует лишь конечное множество отличных ОТ нуля вычетов Гр. Поэтому мы можем составить сумму этих вычетов:
2гр==^] 2 ир;арк-
р р 1+к =—1
Эта сумма представляет собой скалярное произведение вектора V и ковектора
Я = (13)
в смысле § 152. Итак, мы получили следующий результат:
Каждый дифференциал ы>йг однозначно определяет некоторый ковектор Я, для которого скалярное произведение V ? Я равно в точности сумме вычетов произведения Ушйг
^•Я = 2>р=Е ? ур/ар*- (14)
р р /+*=-1
Выясним теперь, как изменится это скалярное произведение, если вектор V заменить на некоторую функцию V поля К. Скалярное произведение И-Я будет тогда равно сумме вычетов дифференциала
охюйг — и йг,
где и — некоторая функция данного поля. Имеет место следующая.
Теорема о вычетах. Сумма вычетов дифференциала и йг всегда равна нулю.
В классической теории функций эта теорема немедленно следует из теоремы Коши об интеграле. Общее же доказательство, справедливое для совершенных полей констант, предложил Хассе1). Упрощенный вариант доказательства Хассе мы изложим в § 157, следуя П. Рокетту.
Из теоремы о вычетах следует, что ковектор Я, определенный через дифференциал пи йг, является дифференциалом в смысле А. Вейля.
В частности, йг также определяет некоторый дифференциал в смысле Вейля; мы сохраним в этом случае обозначение йг. Этот дифференциал отличен от нуля, потому что легко найти вектор V, для которого V йг имеет отличную от нуля сумму вычетов. Достаточно выбрать такой вектор V, чтобы при условии, что йг имеет относительно плейса р порядок т, компонента Кр была равна п~т~\ а остальные компоненты были равны нулю.
J) Hasse H. Theorie der Differentiale in algebraischen Funktionenk?rpern, —» J. reine und angew. Math., 1934, 172, S. 55.
574 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. XIX
Из того факта, что дифференциал, определенный с помощью йг, отличен от нуля, следует в соответствии с § 154, что все дифференциалы со получаются из этого дифференциала умножением на некоторую функцию и. Другими словами:
Все дифференциалы в смысле Вейля являются классическими дифференциалами и йг.
§ 157. Доказательство теоремы о вычетах
Следующим ниже доказательством я обязан любезному сообщению П. Рокетта. Оно проходит для любого совершенного основного поля, но здесь излагается только для случая, когда поле алгебраически замкнуто.
Пусть опять элемент г выбран так, что К сепарабельно над А (г). Положим Е = А(г); тогда К —конечное сепарабельное расширение поля А, и мы можем положить К = Е(0).
Если в (1) из § 145 сравнить слева и справа коэффициенты при и то получится
М(В) = ЦМ(6У), (1)
в (в) = 25(0,). (2)
Такие же формулы имеют место не только для порождающего элемента 0, но и для произвольного элемента и из К. Чтобы в этом убедиться, вычислим сначала норму и след элемента и в поле В (и). Обозначим их соответственно через п(и) и в (а); тогда для и имеют место соотношения, которые выше были доказаны для 0:
п (“)= П п (и*)> (3)
5 («) = 2 5 (мх)- (4)
Применим теперь формулы (16) и (17) из § 47; получится:
N (и) = п («К (5)
S(u)=g?s(u), (6)
где § — степень поля К над Е(ы). Таким образом, имеют место общие формулы:
N {и) = (иу), (7)
5 («) = 25 (щ)- (8)
Посмотрим, как определяются элементы 0, и иу. Согласно § 145 нормирования Ф, поля К, продолжающие заданное нормирование ф поля Ь, определяются вложениями 6 к-* 0,. Каждое
§ 157)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРМЫ О ВЫЧЕТАХ
575
такое вложение изоморфно отображает поле К = Ь (0) в некоторое полное нормированное поле ?Л) = й ^) — пополнение поля К относительно нормирования Фу.
