Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Для несовершенных полей А. Вейль установил необходимое и достаточное условие сепарабельной порождаемости. См. по этому поводу мою работу ?ber \Veil's Neubegr?ndung der algebraischen Geometrie.— Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1958, 22, S. 158.
§ 156. Дифференциалы и интегралы в классическом случае
В классической теории функций рассматриваются абелевы интегралы
^ w dz,
где г —независимая переменная, т. е. функция, не являющаяся константой, a w — произвольная функция поля Н. Переход к любой другой переменной t осуществляется с помощью формулы
$ wdz= \ w^dt
В алгебраической теории можно отбросить символ интеграла и рассматривать только абелевы дифференциалы wdz. Замена на новую переменную t вновь осуществляется с помощью формулы
w dz = w dt.
dt
Здесь выражение обретает смысл, если считать, что элемент z сепарабелен над A (t) (см. § 76). По этой причине оказывается целесообразным ограничиться лишь такими переменными t, для которых поле К сепарабельно над А(/)- Такие t существуют, если поле К сепарабельно порождено и, в частности, если поле Д совершенное.
570
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДПОП ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ XIX
Ради простоты мы будем предполагать, что поле А алгебраически замкнуто. Читателю предоставляется возможность перенести описываемую здесь теорию на произвольные совершенные поля констант.
Пусть переменная г раз и навсегда выбрана так, что поле К является сепарабельным расширением поля А (г). Чтобы исследовать поведение дифференциала хюйг относительно некоторого плейса р, выберем униформизирующую л относительно этого плейса и разложим г в степенной ряд:
2 = Р (я) = ? склк. (1)
Неразложимое соотношение Т(2, л)=0, связывающее элементы 2 и п, должно выполняться, если вместо 2 подставить степенной ряд Р (л):
Т(Р(я), л) = 0. (2)
Теперь слева стоит некоторый степенной ряд от л, все коэффициенты которого равны нулю. О"и остаются нулевыми и после формального дифференцирования этого ряда, если определить формальную производную степенного ряда Р(л) равенством
Р' (л) = 2] кскл*-1.
Таким образом, из (2) после дифференцирования, а затем подстановки вместо Р (л) снова элемента 2, получается равенство
Р'г (г, л) • Р' (л) + Р'Л (г, я) = 0, (3)
в котором Р'г и Тл обозначают частные производные от Т по 2 и л.
Так как элемент л сепарабелен над А (г), то обязано выполняться соотношение р'я (г, л) 0. Согласно (3) элемент Р'г (г, л) не может быть равным нулю, так что элемент г сепарабелен над
А (л). Таким образом, дифференциальное частное ^ определено
и удовлетворяет уравнению
я).^ + ТИг, я) = 0. (4)
Сравнение (3) с (4) дает
А. = р> (Я) = ^ кскл^х. (5)
Следовательно, сепарабельная переменная г дифференцируема по каждой униформизирующей относительно любого плейса и степенной ряд для соответствующего дифференциального частного получается почленным дифференцированием степенного ряда для самой переменной г.
§ 156]
КЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
571
Теперь дифференциал да йг может быть выражен через уни-формизирующую л:
1юйг = ’10-^-с1л. (6)
Конечно, степенной ряд для да — есть произведение степенного ряда для да на степенной ряд (5). Пусть в результате получается
Если в ряд (7) не входят степени с отрицательным показателем, то говорят, что дифференциал шйг остается конечным относительно плейса р. Если в указанный ряд входят только положительные степени и наименьший показатель среди них равен а, то говорят, что плейс р является корнем а-го порядка для данного дифференциала. Если же входят степени с отрицательными показателями, то плейс р — полюс для данного дифференциала. Порядок дифференциала в плейсе р —это наименьший показатель степени /г среди степеней униформизирующей, участвующих в рассматриваемом ряду с ненулевыми коэффициентами Очевидно, все эти понятия не зависят от выбора униформизирующей.
Полюсы дифференциала да дг следует искать среди полюсов элементов да и г; действительно, там, где да и г конечны, дифференциал даДг ие может иметь полюса. Следовательно, каждый дифференциал шйг имеет лишь конечное число полюсов.
Вычетом дифференциала хюйг относительно плейса р называется коэффициент при я'1 в разложении (6). В классической теории вычет можно получить, проинтегрировав дифференциал да йг по маленькой окружности на римановой поверхности с центром ври разделив результат на 2яг. Докажем общий факт: вычет не зависит от выбора униформизирующей.
Степенной ряд (6) может быть представлен как сумма трех видов слагаемых: слагаемые с к < — 1, одно слагаемое с к =—1 и некоторый степенной ряд без отрицательных показателей степеней. Разумеется, этот последний степенной ряд имеет вычет, равный нулю, и поэтому в рассмотрениях может быть отброшен. Слагаемое сс^я“1 дает вычет а^, и легко увидеть, что дифференциал
а^я-1 йл,
представленный через новую униформизирующую т, имеет тот же самый вычет а_х. Следовательно, достаточно рассмотреть лишь слагаемые
л~п с1л (га > 1) (8)
Б72
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ XIX
и доказать, что при преобразовании
я = т + а2т2 4-..., йп — (1 + 2а2т +...)
здесь снова получается нулевой вычет.
