Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 221

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 215 216 217 218 219 220 < 221 > 222 223 224 225 226 227 .. 247 >> Следующая

i(A) = l(A-WK). (9)
Если это подставить в (15) из § 151, то получится основной результат:
Теорема Рима на — Роха. Если А —произвольный дивизор поля К га к — произвольный ненулевой дифференциал, то
1 (А) = n (А) — g -f 1 -И (А-ДД). (10)
§ 1541
ТЕОРЕМА РНМАПА —РОХА
567
Вот несколько дополнений к сказанному.
1. Положим Л = (1); тогда из (9) или, если угодно, из (10) следует, что
Z(Dx)=g. (11)
2. Положим A—Dp, тогда из (10) следует, что
n(DK) = 2g-2. (12)
3. Если X — некоторое кратное дивизора D, то «Я —кратное дивизора uD и наоборот. Следовательно, если Dx — дивизор дифференциала Я, то иЪх — дивизор дифференциала «Я. Дивизоры D^—uDx дифференциалов со = «Я тем самым оказываются эквивалентными. Класс дивизора Da называется классом дифференциалов или каноническим классом.
4. Более общее утверждение: любой класс дивизоров состоит из дивизоров вида и А, эквивалентных произвольно взятому в классе дивизору А. Все дивизоры и А данного класса имеют одну и ту же размерность 1(A) и одну и ту же степень п (Л); поэтому 1(A) называется размерностью класса, а п (А) — степенью класса.
Размерность класса {А} можно определить следующим образом. Если и делится на то «Л — целый дивизор. Следова-
тельно, элементам и модуля 9Э1 (Л) соответствуют целые дивизоры и А класса {Л}. Если функции ult ..., иг линейно независимы, то дивизоры и, А, ..., игА называют линейно независимыми. Ранг I (Л) модуля ЭЛ (Л) является, следовательно, максимальным числом линейно независимых целых дивизоров класса {Л}.
5. Если п(А)<С 0, то не может существовать целый дивизор, эквивалентный дивизору Л; поэтому /(Л) = 0.
6. Если n(A)>2g — 2, то я(Л1ПД<0; следовательно, I (А ДД) = 0 в силу 5. Отсюда в силу (9) следует, что 1(Л)=0. Итак:
Дивизор А, для которого n(A)P>2g — 2, не является специальным.
Задача 1. Существует только один класс {А}, для которого 1(A) д? g и п(Д) — 2g — 2; это канонический класс.
Задача 2. Любой целый дивизор В, для которого I (В) > g, не является специальным.
Тем самым построение общей теории для произвольного основного поля А окончено.’ В заключение мы опишем связь этой теории с классическим вариантом, когда А считается полем комплексных чисел. Для этой цели нам придется сначала рассмотреть несколько вопросов, связанных с сепарабельностью.
Общая теорема Римана —Роха переносится также на тела, являющиеся конечными расширениями того или иного поля рациональных функций А (г). См. Витт (Witt E.). Riemann — Rochseher Satz und {-Punktion im Hyperkomplexen.—Math. Ann., 1934, 110, S. 12.
568
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ х!х
§ 155. Сепарабельная порождаемость функциональных полей
Полем алгебраических функций от г переменных называется любое конечное расширение К поля А(хъ хг) рациональных функций от г алгебраически независимых переменных хъ ..., хг. Если поле К порождается над полем А (хъ хг) элементами
где все х1 — алгебраические функции независимых переменных
Для такого сорта расширений имеет место Теорема о сепарабельной порождаемости. Если поле констант А совершенно, то элементы хг, ..., хп можно перенумеровать так, что все х, станут сепарабельными алгебраическими функциями от независимых переменных хъ ... ,хг.
Доказательство. Проведем индукцию по п при фиксированном г. Случай п = г тривиален. Пусть поэтому п>г и утверждение считается верным для поля К(хь ..., хп-1). В этом случае мы можем предположить, что хъ ..., хп-х — сепарабельные функции от хъ ..., хг.
Элемент хп во всяком случае является алгебраической функцией от хъ ..., хГ и поэтому удовлетворяет некоторому уравнению
которое может предполагаться целым рациональным по всем переменным х,. Если элементы поля хъ ..., хг и хп заменить на переменные Хх, ...,Х, и Хп, то /(Хъ ..., Хп) как многочлен от Хп можно считать неразложимым. Если / разложим как многочлен от Хг, ..., Хп, то один из множителей должен содержать только Хъ ..., Хг. Разумеется такой множитель можно всегда удалить из уравнения (1) Следовательно, можно предполагать, что / неразложим и как многочлен от Хг.
Если элемент хп сепарабелен над А (хъ ..., хг), то доказывать нечего. Если же хп несепарабелен, то характеристика рассматриваемого поля — некоторое простое число р и многочлен / содержит лишь такие степени переменной Х„, которые могут быть записаны как степени элемента Х„. Если бы то же самое было верным и относительно входящих в многочлен / элементов Хъ ... ..., Хп то выполнялось бы равенство
К = А(х1, ..., Хг, Хгп, Хп),
/ (ху, . . ., Хг, Хп) О,
(1)
(2)
Но в совершенном поле А каждый элемент аа является некоторой /^-степенью:
аа = Ь%.
§ 1561
КЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
569
Следовательно, оказывалось бы выполненным равенство
f = (Zb^l1'--xs/KnY-
Зто, однако, невозможно, потому что / — неразложимый многочлен. Таким образом, некоторая из переменных Хъ .... Хг, скажем Хъ должна входить в данный многочлен / в такой степени, которая не делится на р.
Из (1) теперь следует, что лу — некоторая сепарабельная алгебраическая функция от х2, хг и х„. Все Xi зависят от хг ... ..., хг, а также от хп, х2, ..., хг. Так как степень трансцендентности поля Д (хи хп) равна г, элементы хп, х2, .... хг независимы. Поле А (хи ..., хп) сепарабельно над полем А (хъ хг), а последнее сепарабельно над Д(хг„, х2, ..., хг), так что все xt сепарабельны над Д(х„, х2, ..., хг). Если теперь изменить нумерацию элементов Xi, переставив номера 1 и п, то получится требуемое.
Предыдущая << 1 .. 215 216 217 218 219 220 < 221 > 222 223 224 225 226 227 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed